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AP微积分BC:链式法则与隐式微分

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例子问题

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示例问题21:链式法则和隐式微分

找到：

$f=\gamma \cos(x^2)$ ,在那里 $\gamma$ 是常数。

可能的答案:

$2x\gamma \cos(x^2)$

$-\gamma \sin(x^2)$

$2x\gamma \sin(x^2)$

$-2x\gamma \sin(x^2)$

$-2x\sin(x^2)$

正确答案:

$-2x\gamma \sin(x^2)$

解释：

函数的导数等于

$f'=-2x\gamma \sin(x^2)$

并被发现使用以下规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

常数可能看起来很吓人，但我们把它当作另一个常数!

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问题161:衍生品

找到 $\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{d} x}$ 由下式可知:

$5=\delta e^{x^2}$ ,在那里 $\delta$ 是x的函数。

可能的答案:

-2 x

$-2\delta x$

$2\delta x$

$-2\delta x e^{x^2}$

正确答案:

$-2\delta x$

解释：

求的导数 $\delta$ 对x，方程两边都要对x求导:

$0=2\delta xe^{x^2}+e^{x^2}\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{d} x}$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^x=e^x$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

解 $\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{d} x}$ ，我们得到

$\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{d} x}=\frac{-2\delta x e^{x^2}}{e^{x^2}}=-2\delta x$

注意，使用链式法则是因为指数而且因为 $\delta$ 是x的函数。

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示例问题21:链式法则和隐式微分

求下列函数的一阶导数:

$f=\sec(x^2)+\ln(2x^2)$

可能的答案:

$2x\sec(x^2)\tan(x^2)+\frac{2}{x}$

$2\sec(x^2)\tan(x^2)+\frac{2}{x}$

$\sec(x^2)\tan(x^2)+\frac{1}{2x^2}$

$2x\tan(x^2)+\frac{2}{x}$

正确答案:

$2x\sec(x^2)\tan(x^2)+\frac{2}{x}$

解释：

函数的导数等于

$f'=2x\sec(x^2)\tan(x^2)+\frac{4x}{2x^2}=2x\sec(x^2)\tan(x^2)+\frac{2}{x}$

并被发现使用以下规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec(x)=\sec(x)\tan(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(x)=\frac{1}{x}$

注意，链式法则被用于正割函数和自然对数函数。

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示例问题21:链式法则和隐式微分

找到 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ：

xe^y=y^2

可能的答案:

$\frac{e^y}{2y-2xe^y}$

$\frac{e^y}{-2y+2xe^y}$

$\frac{e^y}{2y+2xe^y}$

$\frac{y}{x}$

$\frac{-xe^{2y}}{y}$

正确答案:

$\frac{e^y}{2y-2xe^y}$

解释：

来确定 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ，我们必须对方程两边对x求导:

$e^y+2xe^y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= 2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^x=e^x$

重新排列并求解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ，我们得到

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{e^y}{2y-2xe^y}$

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问题61:导数的计算

xy平面上的曲线由

xy^2+x^2y-x=5 ．

计算曲线在该点处切线的斜率 (1, -3) ．

可能的答案:

$-\frac{3}{5}$

$-\frac{4}{5}$

$-\frac{16}{5}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{14}{5}$

正确答案:

$\frac{2}{5}$

解释：

两边对。求导使用链式法则和乘积法则为:

$\left ((1)(y^2) + (x)(2y)\left (\frac{dy}{dx} \right ) \right )+\left ((2x)(y)+(x^2)\left(\frac{dy}{dx} \right ) \right )-1=0$

然后求解 dy/dx 仿佛那是我们的未知:

$\left (\frac{dy}{dx} \right )(2xy+x^2)=1-2xy-y^2$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1-2xy-y^2}{2xy+x^2}$ ．

最后,评估 dy/dx 在这一点上 (1,-3) 要得到经过该点的斜率:

$\frac{1-2(1)(-3)-(-3)^2}{2(1)(-3)+(1)^2} = \frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$ ．

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问题61:导数的计算

屏幕截图2016年03月31日上午11.11.35

数字“半径”为1的松鼠

一个squircle是xy平面上的一条曲线，看起来像一个圆角的正方形，但其点满足以下方程(类似于圆的毕达哥拉斯定理)

x^4+y^4=R^4

这里是常数是松鼠的半径。

使用隐式微分，得到的表达式 $\frac{dy}{dx}$ 作为两者的函数而且．

可能的答案:

$-\frac{x^4}{4y^3}$

$\frac{4x^3}{y^3}$

$\frac{x^3}{y^3}$

$-\frac{x^3}{y^3}$

$-\frac{4x^3}{y^3}$

正确答案:

$-\frac{x^3}{y^3}$

解释：

方程两边对。求导的链式法则 y^4 术语:

x^4+y^4=R^4

$4x^3+4y^3\left (\frac{dy}{dx} \right )=0$

然后求解 $\frac{dy}{dx}$ 仿佛那是我们的未知:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4x^3}{4y^3}=-\frac{x^3}{y^3}$ ．

把这个和图相比，我们的答案是有意义的，因为松鼠的斜率是无论 x=0 (当它穿过轴)和未定义(垂直) y=0 (当它穿过轴)。最后，我们注意到在第一象限(其中 x>0 而且 y>0 )时，松鼠的斜率为负，这正是我们在图中观察到的。

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