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AP微积分AB:用基本定理表示一个特定的不定积分，以及对这样定义的函数的分析和图形分析

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例子问题

例子问题1:微积分基本定理

评估 $\frac{d}{dx}\int_4^{x^2} e^{t^2}dt$ ．

可能的答案:

不存在

$2xe^{x^4}$

$x^2e^{x^2}$

$e^{x^2}$

$\frac{e^{t^2}}{t^2}$

正确答案:

$2xe^{x^4}$

解释：

即使是不定积分 $e^{t^2}$ 如果不存在，我们仍然可以用微积分基本定理来“约掉”这个表达式中的积分号。

$\frac{d}{dx}\int_4^{x^2} e^{t^2}dt$ ．开始

$= e^{(x^2)^2} \times (x^2)'$ ．你可以用导数来"消掉"积分符号只要保证积分的下界是一个常数，上界是一个可微函数， f(x) ，然后代入 t = f(x) 被积函数。最后，定理指出你必须把结果乘以 f'(x) (类似于链式法则的使用方向)。

$=2xe^{x^4}$ ．

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例子问题2:微积分基本定理

函数的图形 f(x) 下面的画。选择以下问题的最佳答案:

Pbstm

函数的最佳解释是什么?

$F(x)=\int_a^xf(t)dt$

哪个图表示函数的导数 F(x) ?

可能的答案:

Wrngan2

Wrn4

问题10:正确答案

Wrong3q10

正确答案:

问题10:正确答案

解释：

$F(x)=\int_a^xf(t)dt$

这个函数 F(x) 表示曲线下的面积 f(x) 从 x=a 在某种程度上 x>a ．

不要被用糊涂了被积函数。我们之所以使用是因为我们把面积写成的函数吗，这就要求我们把积分的上限作为一个变量．所以我们替换自变量 f(x) 用一个虚拟索引当我们写出积分的时候。它不会改变函数的基本行为 F(x) 或 f(t) ．

导数的图像 F(x) 和图上的一样吗 f(x) ．这直接来源于微积分第二基本定理。

如果函数 f(x) 在区间上是连续的包含，则定义的函数为:

$F(x)=\int_a^xf(t)dt$

的导数 F'(x)=f(x) ．

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示例问题3:微积分基本定理

评估

$\int_{-(4\pi+e^4)}^{4\pi+e^4}3\sin(2x)dx$

可能的答案:

$\frac{-3\cos(8\pi+2e^4)}{2}+\frac{3\cos(-8\pi-2e^4)}{2}$

$\frac{-3\cos(8\pi+2e^4)}{2}$

$\frac{-3\cos(\pi+e^4)}{2}$

正确答案:

解释：

这里我们可以用微积分基本定理来求定积分;然而，这可能是困难和混乱的。

相反，我们对图做了一个聪明的观察

$3\sin(2x)$

即

$3\sin(2x)=-3\sin(-2x)$

这意味着当比较x和-x时，图的值是相等的但相反的。然后我们可以得出结论

$\int_{-(4\pi+e^4)}^{4\pi+e^4}3\sin(2x)dx=\int_{-(4\pi+e^4)}^{0}3\sin(2x)dx+\int_{0}^{4\pi+e^4}3\sin(2x)dx$

=-(SOMETHING)+(SOMETHING)=0

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