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AP微积分AB:导数定义为差商的极限

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例子问题

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例子问题1:求函数的导数

它的导数是什么 x^2+5x ?

可能的答案:

$\frac{1}{2}x+5$

$\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2+c$

2x+5

x^2

正确答案:

2x+5

解释：

为了解决这个问题，我们可以使用幂法则。这意味着我们将变量的指数降低1然后将变量乘以原来的指数。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+5x)=(2*x^{2-1})+(1*5x^{1-0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+5x)=2x+5x^0$

记住，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+5x)=2x+5*1$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+5x)=2x+5$

例8:一般衍生品及规则

它的导数是什么 5x+8 ?

可能的答案:

5x^2+8x+c

$\frac{5}{2}x^2+8x$

正确答案:

解释：

为了解决这个问题，我们可以使用幂法则。这意味着我们将变量的指数降低1然后将变量乘以原来的指数。

我们要治疗作为 8x^0 因为任何数的0次方都是1。

这意味着这个问题看起来是这样的:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x+8)=(5*x^{1-1})+(0*8x^{0-1})$

请注意, $(0*8x^{0-1})=0$ ，因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x+8)=(5*x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x+8)=(5*x^{0})$

记住，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x+8)=5*1$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x+8)=5$

例子问题3:一般衍生品及规则

它的导数是什么?

可能的答案:

$\frac{2}{3}x^3+c$

$\frac{3}{2}x$

2+c

正确答案:

解释：

得到 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x)$ ，我们可以用幂法则。

的指数是,因为 2x=2x^1 ，我们将指数降低1，然后将系数乘以原始指数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x)=1*2x^{1-1}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x)=2x^{0}$

任何东西权力是．

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x)=2*1$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x)=2$

例子问题1:求函数的导数

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(6x^2+8)=?$

可能的答案:

12x

20x

正确答案:

12x

解释：

要解这个方程，我们可以用幂法则。要使用幂法则，我们降低变量的指数，然后乘以该指数。

我们要治疗作为 8x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(6x^2+8)=(2*6x^{2-1})+(0*8x^{0-1})$

请注意, $0*8x^{0-1}=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(6x^2+8)=(2*6x^{2-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(6x^2+8)=(2*6x^{1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(6x^2+8)=12x$

例子问题2:求函数的导数

它的导数是什么 x+1 ?

可能的答案:

$\frac{1}{x}$

$\frac{1}{2}x^2$

正确答案:

解释：

要解这个方程，我们可以用幂法则。要使用幂法则，我们降低变量的指数，然后乘以该指数。

我们要治疗作为 1x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+1)=(1*x^{1-1})+(0*x^{0-1})$

请注意, $(0*x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

剩下的就是 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+1)=(1*x^{1-1})$ ．

简化。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+1)=(1*x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+1)=(x^{0})$

如前所述，任何数的0次方都是1，剩下的是:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+1)=1$

例子问题3:求函数的导数

它的导数是什么 12x^2+13x+4 ?

可能的答案:

6x^2+13

2x+1

24x+1

24x+13

正确答案:

24x+13

解释：

要解这个方程，我们可以用幂法则。要使用幂法则，我们降低变量的指数，然后乘以该指数。

我们要治疗作为 4x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12x^2+13x+4)=(2*12x^{2-1})+(1*13x^{1-1})+(0*4x^{0-1})$

请注意, $(0*4x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12x^2+13x+4)=(2*12x^{2-1})+(1*13x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12x^2+13x+4)=(2*12x^{1})+(1*13x^{0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12x^2+13x+4)=(24x^{1})+(13x^{0})$

就像之前提到的，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12x^2+13x+4)=(24x)+(13*1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12x^2+13x+4)=24x+13$

问题11:导数的概念

它的导数是什么 $2x^4+\frac{1}{2}x$ ?

可能的答案:

$8x^2+\frac{1}{2}x$

$8x^{3}+\frac{1}{2}$

$\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{4}x^2+c$

4x+1

正确答案:

$8x^{3}+\frac{1}{2}$

解释：

要对这个方程求导，我们可以用幂法则。幂法则说的是，我们把每个变量的指数降低1，然后把这个数字乘以原来的指数。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(4*2x^{4-1})+(1*\frac{1}{2}x^{1-1})$

简化。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(4*2x^{3})+(\frac{1}{2}x^{0})$

记住，任何数的0次方都等于1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(8x^{3})+(\frac{1}{2}*1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=8x^{3}+\frac{1}{2}$

例子问题12:导数的概念

它的导数是什么 3x+12 ?

可能的答案:

$\frac{3}{2}x^2$

3x^2

正确答案:

解释：

要对这个方程求导，我们可以用幂法则。幂法则说的是，我们把每个变量的指数降低1，然后把这个数字乘以原来的指数。

我们要治疗作为 12x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=(3x^{1-1})+(0*12x^{0-1})$

请注意, $(0*12x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=(3x^{1-1})$

简化。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=(3x^{0})$

如前所述，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=3*1$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=3$

示例问题13:求函数的导数

它的导数是什么 5x^2+12x ?

可能的答案:

2x+12

10x+12

2x+1

正确答案:

10x+12

解释：

为了求一阶导数，我们可以用幂法则。我们把所有变量的指数都降低1，然后乘以原来的变量。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=(2*5x^{2-1})+(1*12x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=(2*5x^{1})+(1*12x^{0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x^1+12x^0$

任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x^1+12(1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x+12$

例子问题12:导数的概念

它的导数是什么 -8x^2+15 ?

可能的答案:

16x

-16x

正确答案:

-16x

解释：

为了求一阶导数，我们可以用幂法则。我们把所有变量的指数都降低1，然后乘以原来的变量。

我们要治疗作为 15x^0 因为任何数的0次方都是1。

对于这个问题，它看起来像这样:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=(2*-8x^{2-1})+(0*15x^{0-1})$

请注意, $(0*15x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=(2*-8x^{1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=-16x$

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