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AP微积分AB:一个量在区间内的变化率的定积分，它被解释为这个量在区间内的变化

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例子问题

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例子问题1:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

如果f(1) = 12，f'是连续的，f'(x)dx = 16从1到4的积分，f(4)的值是多少?

可能的答案:

正确答案:

解释：

已知f(1)并要求f(4)的值。公平交易委员会的规定如下:

(∫f'(x)dx，从1到4)+ f(1) = f(4)

16 + 12 = 28

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例子问题1:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

找到的极限。

Lim当n趋于无穷时((4n^3.) - 6 n) / ((n^3.) - 2 n²+ 6)

可能的答案:

不存在的

正确答案:

解释：

Lim当n趋于无穷时((4n^3.) - 6 n) / ((n^3.) - 2 n²+ 6)

用洛必达法则求极限。

Lim当n趋于无穷时((4n^3.) - 6 n) / ((n^3.) - 2 n²+ 6)

当n趋于无穷大((12n)时Lim²) - 6) / ((3 n²) - 4n + 6)

当n趋于无穷大时Lim = 24n/(6n - 4)

当n趋于∞时Lim为24/6

极限趋于4。

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例子问题1:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

如果一个粒子的运动用 $p = 3 t ^ {2} - t + 16$ ，那么什么时候速度等于零?

可能的答案:

$\frac{1}{6}$

正确答案:

$\frac{1}{6}$

解释：

答案是 $\frac{1}{6}$ 秒。

$p = 3 t ^ {2} - t + 16$

$v = p ' = 6 t - 1$

现在设置 v=0 因为这就是问题要问的。

$v = 0 = 6 t - 1$

$t = \压裂{1}{6}$ 秒

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示例问题4:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

粒子的运动用 $p = - t ^ {2} + 12 t + 2$

什么时候速度最大?

可能的答案:

正确答案:

解释：

答案是6秒。

$p = - t ^ {2} + 12 t + 2$

我们可以看到这个方程看起来像一个倒过来的抛物线所以我们知道只有一个最大值。

$v = p ' t + 12 = 2$

现在我们组 v=0 求局部最大值。

$t + 12 v = 0 = 2$

$t = 6$ 秒

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例子问题2:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

定义域是什么 $f (x) = \压裂{x + 5} {\ sqrt {x ^ 2 - 9}}$ ?

可能的答案:

$(- \ infty, 3) \杯(3 + \ infty)$

$(3 + \ infty)$

$(- \ infty 3]杯\ [3 + \ infty)$

$(5 + \ infty)$

$(-\infty ,+\infty )$

正确答案:

$(- \ infty, 3) \杯(3 + \ infty)$

解释：

${\ sqrt {x ^ 2 - 9}} > 0$ 因为分母不能为零，负数不能取平方根

$x ^ 2 - 9 > 0$

$x ^ 2 > 9$

$大概{x ^ 2} > \ \ sqrt {9}$

$\左| x \右|>3$

$x > 3 \:或\,x < 3$

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例子问题1:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

如果 $y-6x-x ^ {2} = 4$ ，

然后在 x=1 是什么的瞬时变化率?

可能的答案:

正确答案:

解释：

答案是8。

$y-6x-x ^ {2} = 4$

$y = x ^ {2} + 6 x + 4$

$y ' = 2 x + 6$

$y^{'}=2(1)+6=8$

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例子问题1:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

函数的平均值是多少 $f(x) = 3x^{2} - 5x +7$ 从 x = 1 来 x=5 ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

函数平均值由下式给出:

$Ave = \frac{1}{5-1}\int_{1}^{5} f(x) dx = \frac{1}{5-1}\int_{1}^{5} (3x^{2} - 5x + 7)dx$

$Ave = \frac{1}{4} [x^{3}-\frac{5}{2}x^{2} + 7x]$ ,评估 x = 1 来 x = 5 ．

$Ave = \frac{1}{4}[(125-\frac{125}{2} + 35) - (1-\frac{5}{2}+7)] = 23$

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例子问题1:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

$h (x) = \压裂{g (x)} {(1 + f (x))}$

如果 $f(x)=1,\ f^{'}(x)=2,\ g(x)=3,\ and\ g^{'}(x)=4$

然后找到 $h^{'}(x)$ ．

可能的答案:

$\压裂{5}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\压裂{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

用除法定则后，结果是0。

$h (x) = \压裂{g (x)} {(1 + f (x))}$

$h (x) = \压裂{g的(x) (1 + f (x)) - g (x) (f (x))} {(1 + f (x)) ^ {2}}$

${h}'(x)=\frac{4(1+1)-3(2)}{(1+1)^{2}}=\frac{8-6}{4}=\frac{1}{2}$

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示例问题9:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

$\begin{align*}&\text{The velocity of a particle is given as:}\\&v(t)=\frac{(26sin(t + 2))}{3}\\&\text{Find its change in position over the time interval }t=4,5.5\end{align*}$

可能的答案:

5.32

0.54

35.09

1.97

正确答案:

5.32

解释：

$\begin{align*}&\text{If the velocity function of a particle is known, finding the}\\&\text{distance it travels over a given interval of time is only a}\\&\text{matter of integrating the velocity function over this same interval.}\\&\text{Considering the function given:}\\&\text{Utilizing integral rules:}\\&\int[sin(ax)]=-\frac{cos(ax)}{a}\\&\int_{4}^{5.5}(\frac{(26sin(t + 2))}{3})dt=-\frac{(26cos(t + 2))}{3}|_{4}^{5.5}\\&\text{Now we just subtract the function value at the lower bound from that of the upper bound:}\\&\int_{4}^{5.5}(\frac{(26sin(t + 2))}{3})dt=-\frac{(26cos((5.5) + 2))}{3}-(-\frac{(26cos((4) + 2))}{3})\\&\int_{4}^{5.5}(\frac{(26sin(t + 2))}{3})dt=5.32\end{align*}$

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示例问题10:一个量在区间上的变化率的定积分解释为该量在区间上的变化

$\begin{align*}&\text{The velocity of a particle is given as:}\\&v(t)=\frac{21}{5}\\&\text{Find its change in position over the time interval }t=4,7\end{align*}$

可能的答案:

3.50

12.60

1.45

1.85

正确答案:

12.60

解释：

$\begin{align*}&\text{If the function defining a rate of change is known, the total}\\&\text{change over a given interval of time is only a matter of integrating}\\&\text{this rate function over this same time interval. Considering}\\&\text{the function given:}\\&\text{Utilizing integral rules:}\\&\int x^{a}=\frac{x^{a+1}}{a+1}\\&\int_{4}^{7}(\frac{21}{5})dt=\frac{(21t)}{5}|_{4}^{7}\\&\text{Now we just subtract the function value at the lower bound from that of the upper bound:}\\&\int_{4}^{7}(\frac{21}{5})dt=\frac{(21(7))}{5}-(\frac{(21(4))}{5})\\&\int_{4}^{7}(\frac{21}{5})dt=12.60\end{align*}$

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