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代数2:Sigma符号

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例子问题

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问题21:数学关系和基本图形

$\sum_{n=1}^{5}2n-3$

级数的和是什么?

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\sum_{n=1}^{5}2n-3$

下面的数字是我们代入的第一个值n．我们不断替换越来越高的整数n直到我们到达最上面的数字(在本例中是5)。

它看起来是这样的:

[2(1)-3]+[2(2)-3]+[2(3)-3]+[2(4)-3]+[2(5)-3]

[2-3]+[4-3]+[6-3]+[8-3]+[10-3]

-1+1+3+5+7

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例子问题1:求和符号

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}$

级数的和是什么?

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

回忆一下无限几何级数和的公式:

$S = \frac{a}{1-r}$

当然，这个公式只适用于当级数是几何级数且-1和1的公共比值时。

而符号要求用无限个值替换n，让我们代入一些，看看是否能找到规律:

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$

从这里，我们可以看到，我们有一个公比为1/2，第一项为1/2的几何级数。

$S = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$

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示例问题3:求和符号

解出如果 $x = \sum i^{2}$ 为 i = 1 来 i = 5

可能的答案:

正确答案:

解释：

对于求和，我们在的每一个值处求表达式的值，然后将所有结果相加。

对于这个问题，我们从 i = 1 来 i = 5 ．

i = 1 : i^2 = 1

i = 2 : 2^2=4

i = 3 : 3^2=9

i = 4 : 4^2=16

i = 5 : 5^2=25

然后把所有的加起来，我们得到 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

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示例问题4:求和符号

计算以下总和:

$\sum_{n=1}^{5}\frac{n^2+4}{2n}$

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

$\frac{211}{42}$

$\frac{181}{15}$

$\frac{79}{16}$

$\frac{29}{10}$

正确答案:

$\frac{181}{15}$

解释：

根据问题中的符号，我们被告知通过在sigma上下两个整数之间计算方程得到的结果的总和。尤其对于这个问题的符号，这意味着我们先把1代入方程，然后加上代入2得到的结果，然后是3，然后是4，在我们把代入5得到的结果代入方程后停止，因为这是我们停止求和的最上面的数字。这一过程的具体做法如下:

$\sum_{n=1}^{5}\frac{n^2+4}{2n}=\frac{1^2+4}{2(1)}+\frac{2^2+4}{2(2)}+\frac{3^2+4}{2(3)}+\frac{4^2+4}{2(4)}+\frac{5^2+4}{2(5)}$

$=\frac{5}{2}+2+\frac{13}{6}+\frac{5}{2}+\frac{29}{10}=\frac{75}{30}+\frac{60}{30}+\frac{65}{30}+\frac{75}{30}+\frac{87}{30}$

$=\frac{362}{30}=\frac{181}{15}$

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示例问题5:求和符号

评估: $\sum_{n=1}^{5} n$

可能的答案:

120

正确答案:

解释：

求和从1开始，到5结束。这可以改写为:

$\sum_{n=1}^{5} n =1+2+3+4+5=15$

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示例问题6:求和符号

评估: $\sum_{n=1}^{5} n^2$

可能的答案:

225

14400

正确答案:

解释：

求和从1开始，到5结束。重写求和符号:

$\sum_{n=1}^{5} n^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2= 1+4+9+16+25=55$

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示例问题7:求和符号

评估: $\sum_{n=1}^{5} (-1)^n (2^n)$

可能的答案:

正确答案:

解释：

重写从1到5的和式，然后相加。

$\sum_{n=1}^{5} (-1)^n (2^n)=$

(-1)^1 (2^1)+(-1)^2 (2^2)+(-1)^3 (2^3)+(-1)^4 (2^4)+(-1)^5 (2^5)

=-2+4-8+16-32

=-22

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示例问题8:求和符号

评估: $\sum_{n=0}^{3} \ln(n)$

可能的答案:

e^6

$\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(9)$

$\text{Does not exist}$

$\ln(7)$

正确答案:

$\text{Does not exist}$

解释：

自然对数域只对大于零的值有效。因此，解决方案不存在。

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示例问题9:求和符号

斐波那契数列为

a_1=1

a_2=1

a_3=2

a_4=3

a_5=5

a_6=8

a_7=13

．

找到

$\sum_{i=1}^{4}a_i$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\sum_{i=1}^{4}a_i$ 定义为 a_i 从 $1\leq i\leq 4$ 为 $i\epsilon \mathbb{Z}$ ．

换句话说,

$\\ \sum_{i=1}^{4}a_i \\ \\= a_1+a_2+a_3+a_4\\ \\=1+1+2+3\\ \\=7$

因此，答案是．

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示例问题10:求和符号

计算: $\sum_{1}^{4} n+2$

可能的答案:

正确答案:

解释：

符号表示从1开始到4结束的总和。

按照迭代的顺序替换。

$\sum_{1}^{4} n+2$

= (1+2)+(2+2)+(3+2)+(4+2)

= 3+4+5+6

$\sum_{1}^{4} n+2 = 18$

正确答案是．

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