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代数II:放射性衰变方程

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例子问题

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问题1:放射性衰变方程

在过去的几年里，某所大学的学生人数一直在减少。学生入学人数每年减少12%。现有在校生14286人。如果这种趋势继续下去，五年内会有多少学生入学?

可能的答案:

12,426

7,539

3,571

9,756

5,714

正确答案:

7,539

解释：

这是一个指数衰减问题。指数衰减的公式为:

FV = PV(1- d)^n

在哪里

=未来值

现值

衰变速率

=周期数

这个问题要求未来五年的学生人数。衰变率是百分之十二。因此:

FV = 14,286(1-.12)^5

FV = 7,539

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问题2:放射性衰变方程

科学家最近发现了一种新型的金属化合物。它们大约有15克这种化合物，半衰期为16小时。科学家们在24小时内大约会得到多少这种物质?

可能的答案:

0.005 克

5.00 克

0.50 克

克

0.06 克

正确答案:

0.06 克

解释：

回想一下放射性衰变公式:

$Q_{(t)}=Q_{(o)} (^{-r\cdot t})$

半衰期公式为:

$r=\frac{ln2}{(h)}$ ,在那里是半生。

插入给定半衰期:

$r=\frac{ln2}{(16)}\approx 0.0433216$

把这个值代入放射性衰变公式:

$Q_{(24)}=15 (^{-0.0433216\cdot 24})\approx 0.06$ 克

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问题3:放射性衰变方程

放射性衰变的方程是，

$A=A_{0}\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^{t/h}$ ．

在哪里 $A_{0}$ 是放射性物质的原始量，是最后的金额，是物质的半衰期吗是时间。

碳14的半衰期是 5730 年。如果化石含有碳14的克数 t = 0 即碳-14的剩余量 t = 17190 年?

可能的答案:

$8 \text{ grams}$

$16 \text{ grams}$

$96 \text{ grams}$

$4 \text{ grams}$

没有其他答案。

正确答案:

$8 \text{ grams}$

解释：

利用放射性衰变方程，我们得到:

$A=64\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^{17190/5730}$ ．

$A = 64\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{3} = 64 \cdot \frac{1}{8} = 8 \text{ grams}$

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问题4:放射性衰变方程

鱼缸里鱼的数量呈指数衰减递减。鱼类的数量正在减少 $7\%$ 每年。有 1500 今天水族馆里的鱼。如果腐烂继续下去，水族馆里会有多少鱼年?

可能的答案:

这些答案都不正确

1122

1200

990

正确答案:

1122

解释：

每年鱼类数量减少7%。换句话说，每年93%的鱼都是前一年的。知道了这一点，我们就可以用原来的鱼的数量来求出下一年的鱼的数量。因为我们想知道4年后鱼的数量，我们用1500乘以93%乘以4次。

$\small \small 1500\cdot0.93\cdot0.93\cdot0.93\cdot0.93 = 1500\cdot(0.93)^4 \approx 1122$

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问题5:放射性衰变方程

一个城市的人口正在减少。这个城市有人口， 529 今天的人，但是人口减少了 $10.5\%$ 每年。这个城市的人口将会是多少如果这种情况持续几年?

可能的答案:

6953

7769

6565

7312

正确答案:

6953

解释：

因为这个城市的人口以每年10.5%的速度减少，我们可以用

$\small 13,529\cdot(1-0.105) = 13,529\cdot(0.895)$

因为这种减少将持续6年，我们可以继续用每年的人口乘以衰减量。

$\small \small \small 13,529\cdot0.895\cdot0.895\cdot0.895\cdot0.895\cdot0.895\cdot0.895 \Rightarrow$

$\small \small \Rightarrow 13,529\cdot0.895^6 \approx 6953$

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问题6:放射性衰变方程

有水从杯子里漏出来。 $12\%$ 每分钟都有一半的水漏出来。剩下多少公斤的水呢分钟,秒，如果有的话千克水， $\small W$ 现在在杯子里?

可能的答案:

2.32 公斤

这些答案都不正确

4.68 公斤

5.40 公斤

正确答案:

4.68 公斤

解释：

因为水以连续的速率泄漏，我们可以使用指数衰减方程。

$\small W_{new} = W\cdot(1-D)^t$

$\small D$ 是衰减的问题，12%或0.12。 $\small t$ 等于水衰减12%的次数。这可以计算为

$\small t = \frac{4min 12secs}{1min}$

要计算这个，我们必须首先把时间都转换成秒

$\small t = \frac{4\cdot60+12}{1\cdot60} = \frac{240+12}{60} = \frac{252}{60}$

我们的方程是

$\small \large \large W_{new} = 8\cdot(1-0.12)^{\frac{252}{60}} \approx 4.68$

$\small W_{new} = 4.68$

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问题7:放射性衰变方程

一个动物种群正在灭绝。这种动物的数量减少了 $8\%$ 每年。在岁月，会有这只动物剩下的。这种动物现在的数量是多少?

可能的答案:

143

101

正确答案:

143

解释：

这是一个指数衰减问题。因此，我们可以用这个方程。

$\small P_{7} = P_{0}\cdot(1-d)^t$

$\small P_{7}$ 是7年后的动物数量。 $\small P_{0}$ 是现在的动物数量。 $\small d$ 就是每年动物数量的减少。 $\small t$ 是动物种群衰亡的时期。

从问题中我们知道7年后动物的数量将是80，所以

$\small P_{7} = 80$

因此，人口正以每年8%的速度减少

$\small d$ = 8% = 0.08

$\small t$ 等于衰减8%的次数。由于每年衰减8%人口是7年后，人口衰减8% 7次。换句话说，

$\small t = \frac{7 \text{ years}}{1 \text{ year}} = 7$

这些值告诉我们，

$\small 80 = P_{0}\cdot(1-0.08)^7$

重新排列这个方程，我们就能解出来 $\small P_{0}$

$\small P_{0} = \frac{80}{(1-0.08)^7} = \frac{80}{0.92^7} = 143$

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问题8:放射性衰变方程

一所学校每年都会失去一定数量的学生。今年，学校已经 242 学生。四年前，学校有 591 学生。这所学校每年的学生流失率在过去四年里一直保持不变。这所学校每年的学生流失率是多少?

可能的答案:

$67\%$

$20\%$

$12\%$

$80\%$

正确答案:

$20\%$

解释：

这是一个指数衰减问题，意思是学校学生的衰减可以用

$\small S_{now} = S_{past}\cdot(1-d)^t$

$\small S_{now}$ 目前学校的学生人数是242人吗

$\small S_{past}$ 4年前学校的学生人数是591人吗

$\small t$ 是衰变发生的次数。因为，我们试图找出每年的衰减，从一年到下一年发生在学校的衰减，我们有4年前的学生人数， $\small t =4$ ．

$\small d$ 就是我们要找的学校的衰败率。因为除了 $\small d$ ，我们可以把这些值代入方程求解 $\small d$ ．

$\small 242 = 591\cdot(1-d)^4$

$\small (1-d)^4 = \frac{242}{591} \approx 0.41$

$\small 1-d = \sqrt[4]{0.41} \approx 0.80$

$\small d = 0.20$ = 20%

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问题9:放射性衰变方程

培养皿中的细胞已经开始腐烂。细胞正在腐烂 $3\%$ 每一个分钟。你离开的时候牢房里有 1000 培养皿中的细胞。现在有培养皿中的细胞。你离开牢房大概多久了?

可能的答案:

$78 \text{ hours and } 20 \text{ minutes}$

$90 \text{ hours and } 40 \text{ minutes}$

$26 \text{ hours and } 6 \text{ minutes}$

$23 \text{ hours and } 4 \text{ minutes}$

正确答案:

$26 \text{ hours and } 6 \text{ minutes}$

解释：

这是一个指数衰减问题。这意味着20分钟后，3%的细胞腐烂，培养皿中剩下97%的细胞。为了找到培养皿中新的细胞数量，我们将原来的数量乘以97%。

$\small 1000 \cdot(0.97)$

每隔20分钟的间隔后的细胞数可以这样计算。因此，为了找出细胞衰变的时间，

$\small \small \small 1000 \cdot(0.97) \cdot(0.97)\cdot... = 92$

可以写成，

$\small \small 1000(0.97)^t = 92$

现在我们可以解出 $\small t$ 也就是你离开的时间

$\small (1-0.03)^t = \frac{92}{1000}$

求出 $\small t$ ，两边取对数以10为底。这将给我们，

$\small t\cdotlog(0.97) = log\bigg(\frac{92}{1000}\bigg)$

$\small \small t = \frac{log(\frac{92}{1000})}{log(0.97)} \approx 78.333$

记住! $\small t$ 是细胞衰变的次数。然而，每次衰变都需要20分钟才能通过。

因此，你离开的时间是

$\small \small t = 78.333\cdot\frac{20}{60} \approx 26 \text{ hours and} \ 6 \text{ minutes}$

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问题10:放射性衰变方程

假设5毫克的X元素在48小时后衰减到3.2毫克。每天的衰减率是多少?

可能的答案:

$30\%$

$34\%$

$15\%$

$22\%$

$28\%$

正确答案:

$22\%$

解释：

写出放射性衰变的公式。

$X=X_0e^{-\lambda T }$

$X= \textup{final amount} = 3.2$

$X_0=\textup{ initial amount }= 5$

$T=\textup{time in days} = \frac{48 \textup{ hours}}{ \frac{24\textup{ hours}}{1\textup{ day}}} = 2$

代入方程中的值，解出。

$5=3.2e^{-2\lambda }$

两边同时除以3.2。

$1.5625=e^{-2\lambda }$

两边取自然对数消掉指数项。

$ln(1.5625)=ln(e^{-2\lambda })$

$ln(1.5625)=-2\lambda$

两边同时除以- 2。

$\frac{ln(1.5625)}{-2}=\frac{-2\lambda}{-2}$

$\lambda=\frac{ln(1.5625)}{-2}=-0.223144$

把它转换成百分比。

该元素的衰变速率近似为: $22\%$

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