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代数2:指数对数

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例子问题

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问题58:简化对数

在这个问题中，我们将使用符号 $\small \log a$ 表示以10为底或常用对数,即 $\small \log a \equiv \log_{10}a$ ．

找到如果 3^x=12 ．

可能的答案:

$\small x \approx 2.9891$

$\small x \approx 0.4771$

$\small x \approx 2.3116$

$\small x \approx 4.000$

$\small x \approx 2.2620$

正确答案:

$\small x \approx 2.2620$

解释：

我们可以利用对数函数的相等性质，对两边取对数:

$\small \log 3^x = \log 12$

利用对数的幂性质:

$\small x \log 3 = \log 12$

两边除以 $\log3$ ：

$\small x=\frac{\log 12}{\log 3}$

用计算器计算:

$\small x \approx \frac{1.0792}{0.4771}$

或

$\small x \approx 2.2620$

例子问题1:指数对数

简化

$\log6^2$

可能的答案:

$(\log6)^2$

$2\log6$

$\log12$

$\log3$

正确答案:

$2\log6$

解释：

使用对数规则回忆:

$\log a^b = b\log a$ ．

因此，在这种情况下，我们把2放在前面，就得到了解。

$2 \log(6)$

例子问题2:指数对数

化简下面的等式。

$(e^{(\ln2+\ln93-\ln6)}e^{-1})^2$

可能的答案:

$\frac{31}{e^{-2}}$

961e^2

31e

$\frac{31}{e}$

$\frac{961}{e^2}$

正确答案:

$\frac{961}{e^2}$

解释：

我们可以用下面的自然对数规则来简化自然对数指数。

$\ln A+\ln B=\ln AB$

$\ln A - \ln B=\ln\frac{A}{B}$

使用这些规则，我们可以执行以下步骤。

$(e^{(\ln2+\ln93-\ln6)}e^{-1})^2$

$(e^{(\ln(2(93))-\ln6)}e^{-1})^2$

$(e^{(\ln(\frac{2(93)}{6})}e^{-1})^2$

$(e^{\ln 31}e^{-1})^2$

知道e可以消掉指数自然对数，我们可以消掉第一个e。

$(31e^{-1})^2$

将平方分布到括号中并计算。

$(31)^2(e^{-1})^2=961e^{-2}$

记住，负指数相当于商。把它写成商的形式，就做完了。

$961e^{-2}=\frac{961}{e^2}$

问题61:简化对数

计算下面的表达式

$\small \log(1000^{2})$

可能的答案:

$\small 3$

$\small \frac{1}{9}$

$\small \frac{\log (2)}{\log (10)}$

$\small 6$

$\small 9$

正确答案:

$\small 6$

解释：

由于指数在圆括号内，所以在求对数之前必须取1000的平方。因此

$\small \log(1000^{2})=\log (1000000)=6$

因为 $\small 10^{6}=1,000,000$

问题62:简化对数

计算下面的表达式

$\small \log _{3}(9^{2})$

可能的答案:

$\small 1/4$

$\small 81$

$\small 4$

$\small 27$

$\small 2$

正确答案:

$\small 4$

解释：

由于指数在括号内，所以必须首先确定指数表达式的值。

$\small 9^{2}=81$

然后解对数

$\small \log _{3}(81)=4$ 因为 $\small 3^{4}=81$

问题63:简化对数

的所有整数求以下值 $\small a$ 而且 $\small b$

$\small a^{\log _{a}(b)}$

可能的答案:

$\small b$

$\small \log_{a} (b)$

$\small a$

$\small \log _{b}(a)$

$\small \frac{a}{b}$

正确答案:

$\small b$

解释：

$\small \log _{a}(b)$ 得到的指数 $\small a$ 必须提高产量 $\small b$

当 $\small a$ 实际上是在给出的方程中取这个数，答案一定是 $\small b$

问题64:简化对数

计算下面的表达式

$\left ( \log1000\right)^{2}=$

可能的答案:

$\small 6$

$\small 3$

$\small \log (2000)$

$\small \frac{1}{1000}$

$\small 9$

正确答案:

$\small 9$

解释：

这是对数答案的简单指数。

$\small \log(1000)=3$ 因为 $\small 10^{3}=1000$

$\small 3^{2}=9$

问题65:简化对数

计算下面的表达式

$\left( \log _{2}16 \right)^{3}$

可能的答案:

$\small 64$

$\small 4$

$\small 48$

$\small 1024$

$\small 12$

正确答案:

$\small 64$

解释：

这是一个两步的问题。首先求log以2为底16的对数

$\small \log _{2}(16)=4$ 因为 $\small 2^{4}=16$

然后

$\small 4^{3}=64$

例子问题2:指数对数

下列哪个方程是有效的?

可能的答案:

$\small \log (a)^{2}=\log2a$

其他答案都不正确

$\small a^{\log _{a}(b)}=a$

$\small \log_{2b}(a)= \log_{b}(a)^{2}$

$\small \log _{a}(a^{b})=b$

正确答案:

$\small \log _{a}(a^{b})=b$

解释：

由于对数回答的问题是用哪个指数取底数以得到圆括号中的数字，如果圆括号中的数字是指数的底数，那么指数一定是答案。

问题67:简化对数

将以下对数表达式改写为展开形式(即使用加法和/或减法):

$\small \ln{(AB)}^{4}$

可能的答案:

$\small 4\ln{AB}$

$\small 4\ln{A}+4\ln{B}$

$\small 4\ln{A}+\ln{B}$

$\small \ln{A^{4}}+\ln{B^4}$

$\small 4\ln{AB}$

正确答案:

$\small 4\ln{A}+4\ln{B}$

解释：

在我们做任何事情之前，4的指数必须移动到表达式的前面，因为对数规则要求。我们最终得到 $\small 4\ln{AB}$ ．记住，对数内的乘积可以重写为和: $\small 4(\ln{A}+\ln{B})$ ．分配，我们得到 $\small 4\ln{A}+4\ln{B}$ ．

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