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代数2:利息方程

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例子问题

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例子问题1:感兴趣的方程

凯瑟琳在一个投资账户上投资了3500美元。该账户每季度可获得10%的复利。5年后，她会有多少钱?

可能的答案:

$\$5,636.79$

$\$6,283.78$

$\$3,850.00$

$\$5,250.00$

$\$5,735.15$

正确答案:

$\$5,735.15$

解释:

计算利息账户未来价值的公式是

$FV = PV(1+\frac{r}{n})^{tn}$ ，

在哪里

=未来价值，

=现值，

=年利率，

=每年复利的次数，和

已经过去的年数。

这个问题要求5年后账户里的钱，10%的利息每年复利4次(季度)。

代入给定的量并化简:

$FV=$3500 (1+.025)^{5\cdot 4}$

$FV=3500(1.025)^{20}$

${\color{Red} FV=\$5,735.15}$

例子问题2:感兴趣的方程

费莉西亚把钱存入年利率为5%的储蓄账户。五年后，她有了1万美元。她的初始投资是多少?

可能的答案:

$6,349.25

5,367.18

5,639.27

7,835.26

8,798.40

正确答案:

7,835.26

解释:

寻找投资未来价值的公式是

FV=PV(1+r)^n ，

在哪里

=未来价值，

=现值，

=利率，和

=利息复利的次数。

代入给定数字，求出现值:

10,000=PV(1+.05)^5

$PV=\frac{10,000}{1.05^5}$

${\color{Red} PV=7,835.26}$

例子问题3:感兴趣的方程

杰米在ABC银行的账户上存了5000美元。该账户每年可获得4%的复利。Jamie想把5年的累计金额提取出来，并关闭账户。5年后杰米会取出多少钱?(你的答案四舍五入到最接近的一美元)

可能的答案:

6200

5849

6000

6078

6083

正确答案:

6083

解释:

初始金额= 5000

帐户赚取年复利4% ===>每1美元将增长到1.04美元。

增长率= 1.04

之后杰米会把钱取出来5年。由于利息是按年复利计算的，因此存续期的数量就等于钱在账户里的年数。

周期数= 5

根据以上信息，我们可以用以下公式计算5年后的累计金额(或最终金额):

最终金额=初始金额*(增长率)^周期数

$5000\times(1.04)^{5}= 6083.2645\approx 6083$

问题4:感兴趣的方程

把答案四舍五入为两位小数。

安东尼把 $\$6$ ， 000 在他的储蓄账户里。银行支付利息 $3\%$ 每年。

之后他的储蓄账户里还有多少钱年?

可能的答案:

$\$8,875.00$

$\$9,347.80$

$\$6,180.00$

$\$6,000$

$\$9,890.76$

正确答案:

$\$9,347.80$

解释:

利息的计算公式为:

起始金额x((1 +利率)^年数)=结束金额年数后

E=B(1+r)^t

确保将比率从百分比转换为数字:3% = 0.03

$E=6000 (1+0.03)^{15}$

=6000(1.5580)

=9347.80

所以答案是 $\$9,347.80$

例5:感兴趣的方程

连续复利:

$P = Ce^{rt}$

在哪里

$P = \text{ final principal}$

$C = \text{ initial deposit}$

$r = \text{ interest rate}$

$t =\text{ number of years of investment}$

如果初始存款 $\$250$ 连续复利率为 $6\%$ 为几年之后，最后的本金价值会是多少?

可能的答案:

其他答案都没有。

$\$299$

$\$282$

$\$1512$

$\$359$

正确答案:

$\$299$

解释:

利用连续复利方程和给定信息，我们得到

$P = Ce^{rt}$

$P = \text{ final principal}$

C = 250

$r = \text{ 0.06}$

t =3

$P = 250e^{\left ( .06\cdot 3\right )} =250e^{.18} = 250 \cdot 1.1972 = 299$

例子问题6:感兴趣的方程

还记得 $A = P(1+\frac{r}{n})^{nt}$

如果一个账户的起始原则是P = 5,000美元，利率r = 12%或0.12，按年复利计算，五年后应该有多少钱?假设自账户开立以来，没有任何资金被存入或取出。

可能的答案:

$\$6162.37$

$\$7,174.29$

$\$6,189.78$

$\$10,212.13$

$\$8,811.71$

正确答案:

$\$8,811.71$

解释:

$A = P(1+\frac{r}{n})^{nt}$ 复利公式在哪里

P =初始存款= 5000

r =利率= 0.12

n =每年复利的次数= 1

t =已经过去的年数= 5

5000(1+.12)^5 =5000(1.762341683) = $8811.7084...

四舍五入到最近的一分或百分之一是 $\$8811.71$ 。

示例问题7:感兴趣的方程

胡里奥将5000美元存入一个利率2.5%的账户，按季度计算复利。一年后他的账户余额是多少(四舍五入到最接近的美分)?

可能的答案:

$\$34864.50$

$\$5519.06$

$\$5126.18$

$\$5126.17$

正确答案:

$\$5126.18$

解释:

为了确定Julio的账户余额，我们必须使用下面给出的利息公式:

$P(1+\frac{r}{n})^{nt}$

其中P是他的本金(初始)投资，r是利率(十进制)，n是利息复利的次数，t是时间流逝的量。

把我们所有已知的信息代入上面的公式——知道季度意味着一年四次——我们得到

$5000(1+\frac{0.025}{4})^{4\cdot 1}=5126.1767...\approx5126.18$

例8:感兴趣的方程

Martisha在一个账户上投资了2000美元不断复利。这种存款的利率是2.5%。求出两年后的余额，四舍五入到最接近的一分钱。

可能的答案:

$\$2102.54$

$\$296826.32$

$\$2050.63$

$\$3297.44$

正确答案:

$\$2102.54$

解释:

为了求出连续复利账户在一定时间后的余额B，我们必须使用以下公式:

$B=Pe^{rt}$ ，其中P是初始投资，r是利率(十进制)，t是考虑的时间量。

把所有已知的信息代入，我们得到

$B=2000e^{0.025\cdot 2}=2102.542193$

哪个四舍五入是2102.54美元

问题9:感兴趣的方程

妮基需要多长时间才能将她的初始投资增加两倍，进入一个利率为1.9%的连续复利账户?

可能的答案:

0.5782年

57.82年

0.214年

我们没有得到足够的信息来解决这个问题

正确答案:

57.82年

解释:

计算利率为r的连续复利账户在一定时间t后余额B的公式为

$B=Pe^{rt}$

要解决这个问题，我们只需要知道初始投资(P)，最终余额(3倍P)和利率(用小数表示)0.019。

把已知信息代入连续复利公式，我们得到

$3P=Pe^{0.019t}$

现在我们解出t:

$3=e^{0.019t}$

$\ln(3)=\ln(e^{0.019t})$

两边取幂可以消去指数

$\ln3=0.019t$

t=57.82

例子问题10:感兴趣的方程

希拉想把她的初始投资增加一倍，存入一个复利账户，利率为4%。如果按年计算复利，需要多长时间?

可能的答案:

0.0565年

17.67年

0.52年

1.923年

正确答案:

17.67年

解释:

为了确定将初始投资P翻倍到复利账户所需的时间，我们只需将给定的信息代入公式:

$B=P(1+\frac{r}{n})^{nt}$

其中B是余额，P是初始投资，r是利率(十进制)，n是利息复利的次数，t是花费的时间。

现在，因为P翻倍了，余额B变成了2倍P:

$2P=P(1+\frac{0.04}{1})^{1\cdot t}$

现在，我们可以解出P:

2=1.04^t

为了使时间变量不再是指数，我们对两边取对数(公共或自然):

$\ln2=t\cdot \ln1.04$

t=17.67

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