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代数2:双曲函数

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例子问题

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例子问题1:双曲函数

下列哪个方程表示中心为的垂直双曲线 (-4, 3) 和渐近线 $y=\pm\, \frac{4}{3}\, x$ ?

可能的答案:

$\frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x+4)^{2}}{16}=1$

$\frac{(x+4)^{2}}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

$\frac{(y-3)^{2}}{16}-\frac{(x+4)^{2}}{9}=1$

$\frac{(y+3)^{2}}{16}-\frac{(x-4)^{2}}{9}=1$

正确答案:

$\frac{(y-3)^{2}}{16}-\frac{(x+4)^{2}}{9}=1$

解释：

首先，我们需要熟悉双曲方程的标准形式:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

中心永远在 (h,k) ．这意味着对于这个问题，每一项的分子必须包含 $(x+4)^{2}$ 而且 $(y-3)^{2}$ ．

要确定双曲线是垂直还是水平开口，看每个变量的符号。竖直的抛物线有一个正数 $y^{2}$ 术语;水平抛物线有一个正数 $x^{2}$ 术语。在这种情况下，我们需要一条垂直抛物线，所以 $y^{2}$ 项必须是正的。

(注意:如果两项的符号相同，则得到的是椭圆，而不是抛物线。)

抛物线的渐近线总是由方程求出来的 $y=\pm\, \frac{b}{a}\, x$ ,在那里是在 $y^{2}$ 项和是在 $x^{2}$ 术语。因为渐近线是 $y=\pm\, \frac{4}{3}\, x$ ，我们知道必须是4和必须是3。这意味着下面的数字 $y^{2}$ 项必须是16，下面的数字 $x^{2}$ 一项必须是9。

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例子问题1:双曲函数

方程所描述的图形的形状是什么?

$\small \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$

可能的答案:

双曲线

椭圆形

抛物线

圆

正确答案:

双曲线

解释：

双曲线的标准方程为:

$\small \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

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示例问题3:双曲函数

用标准形式表示下列双曲函数:

13(y-7)^2-13(x+6)^2=52

可能的答案:

$\frac{2(y-7)^2}{13}-\frac{2(x+6)^2}{13}=1$

$\frac{(y-7)^2}{13}+\frac{(x+6)^2}{13}=1$

$\frac{(y-7)^2}{4}-\frac{(x+6)^2}{4}=1$

$\frac{(x-7)^2}{4}+\frac{(y+6)^2}{4}=1$

$\frac{(x-7)^2}{52}-\frac{(y+6)^2}{52}=1$

正确答案:

$\frac{(y-7)^2}{4}-\frac{(x+6)^2}{4}=1$

解释：

为了将给定的双曲函数用标准形式表示出来，我们必须用以下两种方式之一来表示它:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

从上面双曲方程标准形式的公式可以看出，方程右侧的项总是1，所以必须在给定方程的两边同时除以52，得到:

$\frac{13(y-7)^2}{52}-\frac{13(x+6)^2}{52}=1$

简化后，我们得到标准形式的最终答案:

$\frac{(y-7)^2}{4}-\frac{(x+6)^2}{4}=1$

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示例问题4:双曲函数

下列哪个答案最能说明问题 $2\sinh(x)$ ?

可能的答案:

$\frac{e^x-e^-^x}{2}$

$\frac{e^x+e^-^x}{2}$

e^x-e^-^x

e^x+e^-^x

$\frac{2}{e^x+e^-^x}$

正确答案:

e^x-e^-^x

解释：

双曲正弦的正确定义是:

$\sinh(x)= \frac{e^x-e^-^x}{2}$

因此，通过两边同时乘以2，我们得到如下答案，

$2\sinh(x)=e^x-e^-^x$

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示例问题5:双曲函数

下列哪一项最能说明问题 $\cosh(x)-\sinh(x)$ ，如果值是零?

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

求出x = 0时双曲正弦和余弦的值。根据性质:

$\sinh(0)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^0-e^{-0}}{2}=\frac{1-1}{2}=0$

$\cosh(0)= \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^0+e^{-0}}{2}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$

因此:

$\cosh(0)-\sinh(0)=1-0=1$

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示例问题6:双曲函数

的价值是什么 $-\tanh(0)$ ?

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\text{Does not exist}$

正确答案:

解释：

双曲正切需要被改写成双曲正弦和余弦的形式。

根据性质:

$\sinh(0)=0$

$\cosh(0)=1$

因此:

$-\tanh(0)= -\frac{\sinh(0)}{\cosh(0)}=-\frac{\frac{e^0-e^0}{2}}{\frac{e^0+e^0}{2}}=-\frac{e^0-e^0}{e^0+e^0}=-\frac{0}{1} = 0$

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示例问题7:双曲函数

简化: $-\frac{1}{\sinh^2(x)-\cosh^2(x)}$

可能的答案:

$\text{Does not exist}$

x^2

正确答案:

解释：

下面是双曲的一个性质，它与这个问题非常相似。

$\cosh^2(x) -\sinh^2(x)= 1$

我们需要重写这个方程，取一个负号作为公因式，然后把负号除在两边。

$(-1)(-\cosh^2(x) +\sinh^2(x))= 1$

$-\cosh^2(x) +\sinh^2(x)= -1$

$\sinh^2(x)-\cosh^2(x) =-1$

把这个值代入问题。

$-\frac{1}{sinh^2(x)-cosh^2(x)} = - \frac{1}{-1} =1$

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示例问题8:双曲函数

$\small f(x)=\tfrac{1}{x+4}-3$

下面哪个选项是平移后的双曲线的正确表达式 $\small 5$ $\small units$ 单位, $\small 2$ $\small units$ 在…的右边 $\small f(x)$ ?

可能的答案:

$\small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x+2}+2$

$\small \small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x+6}-8$

$\small \small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x+9}-1$

$\small \small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x-2}+5$

$\small \small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x+2}+5$

正确答案:

$\small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x+2}+2$

解释：

双曲线的父函数用函数表示 $\small \small \small \small g(x)=\tfrac{1}{x-h}+k$ 在哪里 $\small (h,k)$ 是双曲线的中心。将原函数上移 $\small 5$ $\small units$ 简单的添加 $\small -3+5$ ．向右平移 $\small 2$ $\small units$ 带走 $\small 4-2$ ．

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示例问题9:双曲函数

求双曲线的焦点: $-\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16} =1$

可能的答案:

$(\pm 4\sqrt{13},0)$

$(\pm6,0)$

$(0,\pm4)$

$(0,\pm 2\sqrt{13})$

$(\pm 2\sqrt{13},0)$

正确答案:

$(0,\pm 2\sqrt{13})$

解释：

写出双曲线的标准形式。

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2} =1$

或者:

$-\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} =1$

标准形式是在第二种情况下给出的，与第一种形式相比，它将具有不同的参数。

中心: (h,k) =(0,0)

焦点: $(h,k\pm c)$ ,在那里 c^2 =a^2+b^2

$-\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16} =1$

确定系数 a,b 代入得到的值．

$a^2 = 36, a=\pm6$

$b^2 =16, b=\pm 4$

$c^2 =a^2+b^2\rightarrow c^2 =36+16$

$c^2=52, c=\pm \sqrt{52} =\pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{13}= \pm2\sqrt{13}$

$(h,k\pm c) = (0,0 \pm 2\sqrt{13}) = (0,\pm 2\sqrt{13})$

答案是: $(0,\pm 2\sqrt{13})$

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示例问题10:双曲函数

鉴于双曲线 y^2 +4y = 4x^2-24x+41 ，什么是中心的价值?

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了确定中心，我们首先需要把这个方程写成标准形式。

$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

在右侧隔离41。减去 4x^2 并添加 24x 两边。

y^2 +4y -(4x^2)+[24x]= 4x^2-24x+41-(4x^2)+[24x]

这个方程是:

y^2+4y-4x^2+24x = 41

把x和y项分组。小心那些负号。

(y^2+4y)-(4x^2-24x )= 41

对第二个括号提出公因数4。

(y^2+4y)-4(x^2-6x )= 41

完成两遍正方形。每个括号的第二项除以2，然后平方。两边相加。

$(y^2+4y+(\frac{4}{2})^2)-4(x^2-6x+(\frac{-6}{3})^2)= 41+(\frac{4}{2})^2+(-4)(\frac{-6}{3})^2$

这个方程是:

(y^2+4y+4)-4(x^2-6x+9) = 41+4-36

左边因式分解右边化简。

(y+2^2)-4(x-3)^2 = 9

两边同时除以9。

$\frac{(y+2)^2}{9}-\frac{4}{9}(x-3)^2 = \frac{9}{9}$

$\frac{(y+2)^2}{9}-\frac{4(x-3)^2 }{9}=1$

这个方程现在是双曲线的标准形式。

该中心位于: (3,-2)

答案是:

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