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代数II:二次函数

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例子问题

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问题351:多项式

写一个二次方程 $\left ( -3,2 \right )$ 作为顶点(二次方程的顶点形式)。

可能的答案:

$\left ( x + 3 \right )^{2} + 2$

$\left ( x - 3 \right )^{2}$

$\left ( x + 3 \right )^{2}$

$\left ( x + 3 \right )^{2} + 11$

$\left ( x - 3 \right )^{2} -2$

正确答案:

$\left ( x + 3 \right )^{2} + 2$

解释：

二次方程的顶点形式由

$\left ( x - h \right )^{2} + k$

顶点在哪里 $\left ( h,k \right )$

给我们 $\left ( x + 3 \right )^{2} +2$ ．

问题#924:代数2

是什么?-方程的截距?

$y=\frac{x^2-9}{x^2-16}$

可能的答案:

x=2

x=4,-4

x=3

没有拦截。

x=3,-3

正确答案:

x=3,-3

解释：

为了求出方程的x轴截距，我们设分子为0。

0=x^2-9

9=x^2

$\sqrt{9}=\sqrt{x^2}$

3,-3=x

问题#925:代数2

下面这个表达式的最小可能值是多少?

$3x^{2}+6x-10$

可能的答案:

表达式没有最小值。

正确答案:

解释：

我们可以通过求出表达式的最小可能值由方程画出的抛物线顶点的坐标 $y=3x^{2}+6x-10$ ．这是通过把方程写成顶点形式来实现的。

$3x^{2}+6x-10$

$3(x^{2}+2x)-10$

$3(x^{2}+2x+1)-3* 1-10$

$3(x+1)^{2}-13$

抛物线的顶点 $y=3(x+1)^{2}-13$ 这是重点吗? (-1, -13) ．

抛物线向上凹(二次系数为正)，所以的最小值．这就是我们的答案。

问题926:代数2

求这个二次函数顶点的坐标：

$y=-2x^{2}+6x-5$

可能的答案:

$\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$

$\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}\right)$

$\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

$\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}\right)$

$\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$

正确答案:

$\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$

解释：

二次方程的顶点 $y=ax^{2}+bx+c$ 是由 (h,k) ．

$h=-\frac{b}{2a}, k=c-\frac{b^{2}}{4a}$

为 $y=-2x^{2}+6x-5$ ，

$h=-\frac{6}{2\times (-2)}=\frac{3}{2},$

$k=-5-\frac{6^{2}}{4\times (-2)}=-5+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}$ ，

所以顶点的坐标是 $\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ ．

问题#927:代数2

图像的x轴截距是多少 $y=8x^{2}+2x-3$ ？

可能的答案:

$-\frac{3}{2}\ and\ \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \ and -\frac{3}{4}$

$-\frac{3}{2}\ and\ -\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{2}\ and\ \frac{3}{4}$

$-\frac{1}{2}\ and -\frac{3}{4}$

正确答案:

$\frac{1}{2} \ and -\frac{3}{4}$

解释：

假设y = 0,

$y=8x^{2}+2x-3=0$

(2x-1)(4x+3)=0

$x=\frac{1}{2}$ ， $x=-\frac{3}{4}$

问题928:代数2

求抛物线的顶点由下式给出:

f(x)=-2x^2-12x-23

可能的答案:

(2,4)

(1,-7)

(-4,12)

(4,1)

(-3,-5)

正确答案:

(-3,-5)

解释：

为了求出抛物线的顶点，我们的第一步是求出它的中心的x坐标。如果抛物线方程有如下形式:

f(x)=ax^2+bx+c

则其中心的x坐标由下式给出:

$x_{center}=-\frac{b}{2a}$

对于问题中描述的抛物线，a=-2, b=-12，所以我们的中心在:

$x_{center}=-\frac{-12}{2(-2)}=-3$

现在我们知道了抛物线中心的x坐标，我们可以简单地把这个值代入函数来求顶点的y坐标:

f(-3)=-2(-3)^2-12(-3)-23=-5

题目中给出的抛物线的顶点在这一点 (-3,-5)

问题#929:代数2

给出函数的最小值 $f(x) = 2 x^{2} - 5x + 9$ ．

可能的答案:

这个函数没有最小值。

$5\frac{7}{8}$

$18\frac{3}{8}$

正确答案:

$5\frac{7}{8}$

解释：

这是一个二次函数。的抛物线顶点的坐标可以用公式确定 $x = - \frac{b}{2a}$ ,设置 a = 2,b = -5 ：

$x = - \frac{b}{2a} = - \frac{-5}{2 \cdot 2} =\frac{5}{4}$

现在求函数at的值 $x = \frac{5}{4}$ ：

$f(x) = 2 x^{2} - 5x + 9$

$f \left ( \frac{5}{4} \right ) = 2 \left ( \frac{5}{4} \right )^{2} - 5 \left ( \frac{5}{4} \right )+ 9$

$= 2 \left (\frac{25}{16} \right ) - 5 \left ( \frac{5}{4} \right )+ 9$

$= \frac{25}{8} - \frac{25}{4} + 9$

$= \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{72}{8} =\frac{47}{8} =5\frac{7}{8}$

问题1:理解线性和非线性函数:Ccss.Math.Content.8.F.A.3

带顶点的抛物线的方程是什么 (4,1) 和拦截 (0,-7) ？

可能的答案:

$y = \frac{1}{2} x^{2} +8x - 7$

$y = \frac{1}{2} x^{2} -4x - 7$

$y = -\frac{1}{2} x^{2} +4x - 7$

$y = \frac{1}{2} x^{2} -8x - 7$

$y = -\frac{1}{2} x^{2} -4x - 7$

正确答案:

$y = -\frac{1}{2} x^{2} +4x - 7$

解释：

从顶点，我们知道抛物线的方程是这样的 $y = a (x - 4) ^{2}+ 1$ 对于一些．

来计算代入另一个给定点的值， x = 0, y=-7 ，解出：

$y = a (x - 4)^{2} + 1$

$-7= a \cdot (0 - 4)^{2} + 1$

$-7= a \cdot (- 4)^{2} + 1$

-7= 16a + 1

16a = -8

$a = -\frac{1}{2}$

现在方程是 $y = -\frac{1}{2} (x - 4)^{2} + 1$ ．这不是一个选项，所以我们需要用某种方式重写它。

展开平方项:

$y = -\frac{1}{2} (x^{2} -8x + 16) + 1$

将分数分配到括号内:

$y = -\frac{1}{2} x^{2} +4x - 8 + 1$

组合相似的术语:

$y = -\frac{1}{2} x^{2} +4x - 7$

问题1:抛物线函数

确定的最大值或最小值 y=-5x^2+25x+5 ．

可能的答案:

$\textup{Min at: }x=\frac{5}{2}$

$\textup{Max at: }x=-\frac{5}{2}$

$\textup{Min at: }x=-\frac{5}{2}$

$\textup{Max at: }x=\frac{5}{2}$

$\textup{Max at: }x=-\frac{2}{5}$

正确答案:

$\textup{Max at: }x=\frac{5}{2}$

解释：

求的最大值或最小值 y=-5x^2+25x+5 ，使用顶点公式并替换适当的系数。

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-25}{2(-5)}= \frac{25}{10}=\frac{5}{2}$

由于导系数 -5x^2 是负的，抛物线向下打开，这表明将有一个最大值。

答案是: $\textup{Max at: }x=\frac{5}{2}$

问题2:抛物线函数

因式分解: 6x^2-17x+10

可能的答案:

(2x-5)(3x-2)

(6x-5)(x-2)

-(6x+5)(x+2)

(6x-5)(x+2)

(2x-10)(3x-1)

正确答案:

(6x-5)(x-2)

解释：

为了简化 6x^2-17x+10 ，确定第一项和最后一项的因数。

的因素可能性 6x^2 ：

x, 2x, 3x, 6x

的因素可能性：

1,2,5,10

确定标志。由于有一个正的结束项和一个负的中间项，二项式的符号必须都是负的。写出括号对。

(a -b)(c-d) = ac-ad-bc-bd

这些因素必须通过试错来控制，以确定中期。

正确的选择是 x, 6x,2, 5 ．

答案是 (6x-5)(x-2) ．

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