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代数1:多项式运算

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例子问题

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例子问题1:多项式操作

简化 $\frac{x^{5}y^{10}z^{3}}{x^{8}y^{-6}z^{2}}$

可能的答案:

$x^{3}y^{4}z$

$x^{13}y^{16}z^{5}$

$\frac{x^{3}z}{y^{4}}$

$\frac{y^{16}z}{x^{3}}$

$x^{3}y^{4}z^{5}$

正确答案:

$\frac{y^{16}z}{x^{3}}$

解释：

除指数时，要减去底数相同的指数，所以

5-8=-3 而且 10-(-6)=16 而且 3-2=1 ．

当负数减法时，不要忘记“加对”)。

现在，你有

$x^{-3}y^{16}z^{1}$

但是你还没有完成!记住，你不想要一个负指数，把负指数变成正指数的方法是取它的倒数，像这样:

$x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}$

剩下的部分留在分子上，剩下

$\frac{y^{16}z}{x^{3}}$

例子问题2:多项式操作

简化有理表达式。

$\frac{r^2s^9x^5}{r^4s^3x}$

可能的答案:

$\frac{s^6x^4}{r^2}$

$r^6s^{12}x^6$

s^3x^4

$r^{2}s^6x^4$

$r^{-2}s^3x^4$

正确答案:

$\frac{s^6x^4}{r^2}$

解释：

$\frac{r^2s^9x^5}{r^4s^3x}$

为了简化，我们必须使用指数规则。对于分数中的指数，我们可以用分子的指数减去分母的指数。

$\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$

用这个规则，我们可以重写这个问题。

$r^{2-4}s^{9-3}x^{5-1}$

$r^{-2}s^6x^4$

记住，负指数被移回分母，变成正数。

$\frac{s^6x^4}{r^2}$

例子问题3:多项式操作

求下列多项式的最大公因数(GCF):

$24x^{4}y^{3}-12x^{3}y^{4}+8x^{5}y^{2}-4x^{2}y$

可能的答案:

$4xy^{2}$

$4x^{3}y$

$4x^{3}$

$4x^{2}y^{2}$

$4x^{2}y$

正确答案:

$4x^{2}y$

解释：

24 12 8 4除4。

同样，四项中x的最小指数为2，四项中y的最小指数为1。

因此，绿色气候基金必须如此 $4x^{2}y$ ．

问题4:多项式操作

分:

$\left ( 4x^{2}y^{2}-8xy^{3}+16xy^{4} \right )\div \left ( 4x^{2}y \right )$

可能的答案:

$1 - \frac{2y}{x} + \frac{4y^{3}}{x^{2}}$

$1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^{2}}{x^{2}}$

$y-\frac{2y^{2}}{x}+\frac{4y^{3}}{x}$

$y-\frac{2y}{x^{2}}+4\frac{y}{x^{3}}$

$y - \frac{2y^{2}}{x^{2}}+\frac{4y^{2}}{x^{2}}$

正确答案:

$y-\frac{2y^{2}}{x}+\frac{4y^{3}}{x}$

解释：

分子中的每一项除以分母:

$\frac{4x^{2}y^{2}}{4x^{2}y}-\frac{8xy^{3}}{4x^{2}y} + \frac{16y^{4}}{4x^{2}y}$

简化上面的每一项，得到最终结果:

$y-\frac{2y^{2}}{x}+\frac{4y^{3}}{x}$

例5:多项式操作

求商:

$\frac{2x^{3}+x^{2}-12x+9}{x+3}$

可能的答案:

$-2x^{2}-5x-3$

$2x^{2}+5x+3$

$2x^{2}-5x+3$

$-2x^{2}-5x+3$

$2x^{2}-5x-3$

正确答案:

$2x^{2}-5x+3$

解释：

分子可以因式分解

$\left ( x-1 \right )\left ( x+3 \right )\left ( 2x-3 \right )$ ，

当除以 $\left ( x+3 \right )$ ，

给了我们 $\left ( x-1 \right )\left ( 2x-3 \right ) = 2x^{2}-5x+3$ ．

替代方法:分子除以分母的长除法得到相同的答案。

例子问题6:多项式操作

求余数:

$\frac{2x^{3}+x^{2}-12x+3}{2x-3}$

可能的答案:

$\frac{-6}{2x-3}$

6

$\frac{-6x}{2x-3}$

$\frac{-6x^{2}}{2x-3}$

$\frac{6}{2x-3}$

正确答案:

$\frac{-6}{2x-3}$

解释：

当我们用一个多项式除以另一个多项式时，我们得到:

商
余数(如果存在)

在我们的问题中，长除法的结果是:

的商 $x^{2}+2x-3$
剩余的 $\frac{-6}{2x-3}$

示例问题7:多项式操作

分:

$\frac{8x^{3}-1}{2x-1}$

可能的答案:

$4x^{2} +1$

8x-1

$4x^{2}-2x-1$

$4x^{2}-2x+1$

$4x^{2}+2x+1$

正确答案:

$4x^{2}+2x+1$

解释：

这可以很容易地通过因式分解立方的差公式来解决:

$\left ( x^{3}-y^{3} \right ) = \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )$

首先，将给定的多项式转换为两个立方体的差值:

$\left ( \left ( 2x \right )^{3} -\left ( 1 \right )^{3}\right )$

将其与上面立方体的差值公式进行比较，得到:

$\left ( 2x-1 \right )\left ( 4x^{2}+2x+1 \right )$

用上面的分子除以给定的分母，我们得到:

$4x^{2}+2x+1$

例8:多项式操作

分: $(5t^{3} - 40t^{2}+ 30t- 10) \div 10t$

可能的答案:

$\frac{1}{2} t^{2}- 5t+ 3$

$2 t^{2}- 5t+ 3$

$\frac{1}{2} t^{2}- 4t+ 3- \frac{1}{t}$

$\frac{1}{2} t^{2}- 4t+ 3- \frac{1}{2t}$

$2 t^{2}- 4t+ 3- \frac{1}{t}$

正确答案:

$\frac{1}{2} t^{2}- 4t+ 3- \frac{1}{t}$

解释：

$(5t^{3} - 40t^{2}+ 30t- 10) \div 10t$

$= \frac{5t^{3}}{10t} - \frac{40t^{2}}{10t}+ \frac{30t}{10t}- \frac{10}{10t}$

取消:

$= \frac{t^{3-1}}{2} - \frac{4t^{2-1}}{1}+ \frac{3}{1}- \frac{1}{t}$

$= \frac{1}{2} t^{2}- 4t+ 3- \frac{1}{t}$

问题9:多项式操作

分: $\left ( 9x ^{2} + 21x - 18\right ) \div \left (-3x \right )$

可能的答案:

$-3x -7+\frac{6}{x }$

$-3x +7-\frac{6}{x }$

$-3x -7-\frac{6}{x }$

3x -7

-9x -7

正确答案:

$-3x -7+\frac{6}{x }$

解释：

$\left ( 9x ^{2} + 21x - 18\right ) \div \left (-3x \right )$

$=\frac{9x ^{2}}{-3x } +\frac{21x }{-3x }- \frac{18}{-3x }$

$=-\frac{9x ^{2}}{3x }-\frac{21x }{3x }+ \frac{18}{3x }$

取消:

$=-\frac{3x ^{2-1}}{1 }-\frac{7 }{1 }+ \frac{6}{x }$

$=-3x -7+\frac{6}{x }$

例子问题1:多项式如何除法

简化:

$\frac {21b^2 + 7b^3 - 14b}{7b}$

可能的答案:

$b^{2}+3b-2$

3b^3 + b^4 - 2b^2

3b^2 + b^3 - 2

3b + b^2 + 2

3b^3 + b^4 + 2b^2

正确答案:

$b^{2}+3b-2$

解释：

分母上的7是分子上三个系数的公因数，这样就可以把分母上的7除出去:

$\frac {3b^2 + b^3 - 2b}{b}$

然后除以：

$={3b + b^2 - 2}$

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