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ACT数学:锥体

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例子问题

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例子问题2:如何求锥体的表面积

半径为6英寸高为8英寸的圆锥体的表面积是多少?

可能的答案:

96π在²

36π在²

112π在²

66π在²

60π在²

正确答案:

96π在²

解释：

利用勾股定理求出锥体的倾斜高度:r²+h²＝年代²导致6²+ 8²＝年代²导致年代²= 100或年代= 10

SA =πrs+πr²＝π(6) (10) +π(6）²= 60π+ 36π= 96π在²

60π在²是无底锥体的面积。

36π在²只是基地的面积。

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例子问题1:如何求锥体的表面积

用下面的公式来回答这个问题。

$SA=\pi r^2+\pi rl$

右圆锥体的斜高度为 6cm ．半径是 2cm ，高度为 4cm ．确定锥体的表面积。

可能的答案:

$16\pi cm^2$

$12\pi cm^2$

$24\pi cm^2$

$18\pi cm^2$

$20\pi cm^2$

正确答案:

$16\pi cm^2$

解释：

注意，圆锥的高度并不需要回答这个问题，它只是一个无关的信息。已知半径是 2cm ，斜高为 6cm ．

首先把这些数字代入所提供的方程。

$SA=\pi r^2+\pi rl=\pi (2)^2+\pi (2)(6)=4\pi cm^2+12\pi cm^2$

然后通过合并相似项来简化。

$4\pi cm^2+12\pi cm^2=16\pi cm^2$

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例子问题2:如何求锥体的表面积

锥体的斜高度为；基座的直径是其斜高的五分之一。给出锥的表面积．

可能的答案:

$\frac{ \pi L^{2}}{5}$

$\frac{11\pi L^{2}}{100}$

$\frac{ \pi L^{2}}{20}$

$\frac{ \pi L^{2}}{10}$

$\frac{6\pi L^{2}}{25}$

正确答案:

$\frac{11\pi L^{2}}{100}$

解释：

以半径为底的圆锥体表面积的公式和斜高是

$A = \pi r^{2} + \pi r L$ ．

底座的直径为 $\frac{1}{5}L$ ；半径是这个的一半，所以

$r = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}L= \frac{1}{10}L$

将表面积公式代入:

$A = \pi \left ( \frac{1}{10}L \right ) ^{2} + \pi \left ( \frac{1}{10}L \right ) L$

$A = \frac{1}{100} \pi L^{2} + \frac{1}{10} \pi L^{2}$

$A = \frac{1}{100} \pi L^{2} + \frac{10}{100} \pi L^{2}$

$A = \frac{11}{100} \pi L^{2} = \frac{11\pi L^{2}}{100}$

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例子问题# 17:视锥细胞

圆锥体底的半径是；它的倾斜高度是基座直径的三分之二。给出它的表面积．

可能的答案:

$\frac{5\pi r ^{2}}{3}$

$\frac{7\pi r ^{2}}{3}$

$\frac{4\pi r ^{2}}{3}$

$\frac{\left (6- \sqrt{7} \right )\pi r ^{2}}{3}$

$\frac{\left (3- \sqrt{5} \right )\pi r ^{2}}{3}$

正确答案:

$\frac{7\pi r ^{2}}{3}$

解释：

以半径为底的圆锥体表面积的公式和斜高是

$A = \pi r^{2} + \pi r l$ ．

基座的直径是半径的两倍,或，它的斜高是这个直径的三分之二，即 $\frac{2}{3}\cdot 2r = \frac{4}{3}r$ ．用这个代替的公式:

$A = \pi r^{2} + \pi r \cdot \frac{4}{3}r$

$A = \pi r^{2} + \frac{4}{3} \pi r ^{2}$

$A = \frac{7}{3} \pi r ^{2} = \frac{7\pi r ^{2}}{3}$

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例子问题1:如何求锥体的表面积

圆锥体底的半径是；它的高度是那个基座直径的两倍。给出它的表面积．

可能的答案:

$\left ( 1+2 \sqrt{5} \right ) \pi r^{2}$

$5 \pi r^{2}$

$\left ( 1+ \sqrt{5} \right ) \pi r^{2}$

$3 \pi r^{2}$

$\left ( 1+ \sqrt{17} \right ) \pi r^{2}$

正确答案:

$\left ( 1+ \sqrt{17} \right ) \pi r^{2}$

解释：

以半径为底的圆锥体表面积的公式和斜高是

$A = \pi r^{2} + \pi r l$ ．

底有半径和直径．高是直径的两倍，也就是．它的倾斜高度可以用勾股定理计算:

$l = \sqrt{r^{2}+ h^{2}}$

$l = \sqrt{r^{2}+ (4r)^{2}}$

$l = \sqrt{r^{2}+ 16r^{2}}$

$l = \sqrt{17r^{2}}$

$l = r \sqrt{17 }$

替代 $r \sqrt{17 }$ 为在表面积公式中:

$A = \pi r^{2} + \pi r \cdot r \sqrt{17}$

$A = \pi r^{2} + \pi r^{2} \sqrt{17}$

$A = \left ( 1+ \sqrt{17} \right ) \pi r^{2}$

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例子问题1:视锥细胞

锥体的高度是；它底座的直径是高度的两倍。给出它的表面积．

可能的答案:

$5 \pi h^{2}$

$\left (2 +2 \sqrt{2} \right ) \pi h^{2}$

$4 \pi h^{2}$

$10 \pi h^{2}$

$\left (1 + \sqrt{2} \right ) \pi h^{2}$

正确答案:

$\left (1 + \sqrt{2} \right ) \pi h^{2}$

解释：

以半径为底的圆锥体表面积的公式和斜高是

$A = \pi r^{2} + \pi r l$ ．

底座的直径是高度的两倍，也就是；半径是这个的一半，也就是．

斜面高度可以用勾股定理计算:

$l = \sqrt{r^{2}+ h^{2}}$

$l = \sqrt{h^{2}+ h^{2}}$

$l = \sqrt{2h^{2}}$

$l =h \sqrt{2}$

替代 $h \sqrt{2}$ 为而且为在表面积公式中:

$A = \pi h^{2} + \pi h \cdot h \sqrt{2}$

$A = \pi h^{2} + \pi h ^{2} \sqrt{2}$

$A = \left (1 + \sqrt{2} \right ) \pi h^{2}$

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问题20:视锥细胞

圆锥底的周长是80;圆锥的倾斜高度等于基座直径的两倍。给出圆锥的表面积(最接近的整数)。

可能的答案:

1,975

2,546

2,039

2,485

4,077

正确答案:

2,546

解释：

以半径为底的圆锥体表面积的公式和斜高是

$A = \pi r^{2} + \pi r l$ ．

斜面高度是直径的两倍，或者相当于半径的四倍，所以

l = 4r

而且

$A = \pi r^{2} + \pi r \cdot 4r$

$A = \pi r^{2} +4 \pi r^{2}$

$A = 5 \pi r^{2}$

底的半径是周长除以 $2\pi$ ,这是

$80 \div 2 \pi \approx 80 \div (2 \times 3.14 )\approx 12.73$

替代:

$A = 5 \pi r^{2}$

$A \approx 5 \cdot 3.14 \cdot (12.73)^{2}$

$A \approx 2,546$

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例子问题2:如何求锥体的表面积

圆锥底的周长是100;锥体的高度等于底座的直径。给出圆锥的表面积(最接近的整数)。

可能的答案:

8,443

1,779

2,575

2,385

1,589

正确答案:

2,575

解释：

以半径为底的圆锥体表面积的公式和斜高是

$A = \pi r^{2} + \pi r l$ ．

底的直径是周长除以 $\pi$ ,这是

$d = C \div (2\pi ) \approx 100 \div 3.14 \approx 31.83$

这也是高．

半径是这个的一半，或者

$r = d \div 2 \approx 31.83 \div 2 \approx 15.92$

斜面高度可由勾股定理求出:

$l = \sqrt{r^{2}+ h ^{2}}$

$l \approx \sqrt{15.92^{2}+ 31.83 ^{2}}$

$l \approx \sqrt{253.30+ 1,013.21}$

$l \approx \sqrt{1266.51}$

$l \approx 35.60$

将表面积公式代入:

$A = \pi r^{2} + \pi r l$

$A \approx 3.14 \cdot 15.92 ^{2} + 3.14 \cdot 15.92 \cdot 35.60$

$A \approx 795.8+ 1,780.1$

$A \approx 2,575$

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例子问题1:如何求锥体的表面积

在一颗特定卫星上的防热罩采用锥体的形式。如果锥体“面”的表面积(不包括底部的圆盘)为 2744.36ft^2 反光漆的条纹从锥体的顶端一直到底部英尺长，圆盘的直径是多少英尺?轮 $\pi$ 到3位有效数字。最后的答案四舍五入到最近的一英尺。

可能的答案:

46ft

51ft

38ft

28ft

12ft

正确答案:

46ft

解释：

在这个问题中，我们只需要考虑锥面面积公式中涉及斜高的部分，因为这是我们所有的信息。

我们知道圆锥的侧表面积的公式是 $\pi r l$ 我们知道这一点是的脚。代入其他值得到:

$\pi r (38) = 2744.36$

简化:

$\pi r (38) = 2744.36$

$r = \frac{2744.36}{(38)(3.14)} \approx 23$

因此，如果半径近似英尺，直径大约是的脚。

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例子问题2:如何求锥体的表面积

有半径的圆锥体的表面积单位是多少单位和高度单位吗?

可能的答案:

$323\pi$

$677\pi$

$470\pi$

$224\pi$

$558\pi$

正确答案:

$224\pi$

解释：

锥面面积的公式为:

$\pi r^2 + \pi r l$ ,在那里是斜高度。因为我们知道半径，我们可以毫无问题地计算第一部分:

$\pi r^2 = \pi (7)^2 = 49\pi$

第二部分要求我们计算斜高。因为所有的锥都有一个由底和垂直于底的高度形成的直角，我们可以用勾股定理来计算：

a^2 + b^2 = l^2

7^2 + 24^2 = l^2 = 625

l = 25

现在，我们可以完成我们的公式。别忘了加上圆形底座。

$\pi r^2 + \pi r l = 49\pi + \pi (7)(25) = 49\pi + 175\pi = 224\pi$

因此，我们的表面积是 $224\pi$ 方单位。

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