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ACT数学:如何求平行四边形的周长

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例子问题

问题11:平行四边形

一个平行四边形，以厘米为单位，如下所示。 Act1

平行四边形的周长是多少，单位是厘米?

可能的答案:

$64+12\sqrt{3}$

正确答案:

$64+12\sqrt{3}$

解释：

图中左边的三角形有一个 $30^{\circ}$ 和一个 $90^{\circ}$ 角。因为三角形所有的角之和一定是 $180^{\circ}$ ，可求出第三个角的角度:

30+90=120

$180-120=60^{\circ}$

第三个角是 $60^{\circ}$ 我们有一个 30-60-90 三角形。

一个 30-60-90 三角形的边长之比是 $x-x\sqrt{3}-2x$ ．在这种情况下，我们的对边 $30^{\circ}$ 角是,所以

x=6

我们现在也知道了

$x\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

2x=12

现在我们知道了所有缺失的边长。平行四边形的左边和右边分别是．底部和顶部都是 $20+6\sqrt{3}$ ．让我们把它们结合起来求周长:

Perimeter=2w+2l

$2\cdot (12)+2\cdot (20+6\sqrt{3})$

$24+40+12\sqrt{3}$

$64+12\sqrt{3}$

例子问题1:如何求平行四边形的周长

Parallelogram2

注:图非按比例绘制。

给出平行四边形的周长 ABCD 在上图中。

可能的答案:

$30 \sqrt{3}$

$15 + 15\sqrt{2}$

$15 + 15\sqrt{3}$

$30 \sqrt{2}$

正确答案:

$30 \sqrt{3}$

解释：

由30-60-90定理，短腿的长度 $\bigtriangleup BDC$ 长腿的长度是除以吗 $\sqrt{3}$ ,所以

$CD = \frac{BD}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}= \frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

它的斜边长度是短边的两倍，所以

$BC = 2 \cdot CD = 2 \cdot 5\sqrt{3}= 10 \sqrt{3}$

平行四边形的周长是

AB + BC + CD + DA

=CD + BC + CD + BC

$=5 \sqrt{3} + 10\sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 30 \sqrt{3}$

示例问题21:平行四边形

Parallelogram1

注:图非按比例绘制。

给出平行四边形的周长 ABCD 在上图中。

可能的答案:

$34 + 34 \sqrt{3}$

$68 \sqrt{2}$

$68 \sqrt{3}$

$34 + 34 \sqrt{2}$

正确答案:

$34 + 34 \sqrt{2}$

解释：

根据45-45-90定理，腿的长度 $\bigtriangleup BDC$ 相等，所以

CD = BD = 17

它的斜边是有长度的 $\sqrt{2}$ 是它腿的一般尺寸，所以

$BC = CD \cdot \sqrt{2} = 17 \sqrt{2}$

平行四边形的周长是

AB + BC + CD + DA

=CD + BC + CD + BC

$=17+ 17 \sqrt{2}+ 17 + 17\sqrt{2}= 34 + 34 \sqrt{2}$

例子问题1:如何求平行四边形的周长

平行四边形

注:图非按比例绘制。

求出平行四边形的周长 ABCD 在上图中。

可能的答案:

34.7

56.7

69.4

31.4

28.3

正确答案:

31.4

解释：

$\frac{BD}{CD} = \tan 65^{\circ}$

$\frac{CD}{BD} = \frac{1}{\tan 65^{\circ}}$

$CD= \frac{BD}{\tan 65^{\circ}} \approx \frac{10}{2.1445} \approx 4.66$

$\frac{BD}{BC} = \sin 65^{\circ}$

$\frac{BC}{BD} = \frac{1}{\sin 65^{\circ}}$

$BC= \frac{BD}{\sin 65^{\circ}} \approx \frac{10}{0.9063} \approx 11.03$

平行四边形的周长是

AB + BC + CD + DA

=CD + BC + CD + BC

$\approx 4.66 + 11.03 + 4.66 + 11.03 \approx 31.4$

问题4:如何求平行四边形的周长

Parallelogram1

上图为平行四边形 ABCD 面积为100。它的周长是多少?

可能的答案:

50.5

47.6

54.6

45.6

48.3

正确答案:

48.3

解释：

根据45-45-90定理， BD = CD ．自而且是它的底座和高度:

$A = BD \cdot CD$

$100 = CD \cdot CD = \left (CD \right ) ^{2}$

CD =10

根据45-45-90定理，

$BC = CD \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 1.4142 \approx 14.14$

平行四边形的周长是

AB + BC + CD + DA

=CD + BC + CD + BC

$\approx 10+ 14.14 + 10 + 14.14$

$\approx 48.3$

例5:如何求平行四边形的周长

Parallelogram2

上图为平行四边形 ABCD 面积为100。它的周长是多少?

可能的答案:

45.6

50.5

48.3

47.6

54.6

正确答案:

45.6

解释：

根据30-60-90定理，

$BD = CD\cdot \sqrt{3}$

平行四边形的面积是高度的乘积和基础,所以

$A = BD \cdot CD$

$100 = CD\cdot \sqrt{3}\cdot CD$

$100 = \left (CD\right )^{2} \sqrt{3}$

$\left (CD\right )^{2} = \frac{100 }{\sqrt{3}}$

$\left (CD\right )^{2} \approx \frac{100 }{1.7321}$

$\left (CD\right )^{2} \approx 57.73$

$CD \approx \sqrt{57.73} \approx 7.60$

根据30-60-90定理，

$BD =2\cdot CD \approx 2 \cdot 7.60 = 15.20$

平行四边形的周长是

AB + BC + CD + DA

=CD + BC + CD + BC

$\approx 7.60 + 15.20 + 7.60 + 15.20 \approx 45.6$

例子问题6:如何求平行四边形的周长

平行四边形

注:图非按比例绘制。

上图为平行四边形 ABCD 面积为100。它的周长是多少?

可能的答案:

46.0

70.7

46.6

44.2

28.7

正确答案:

46.0

解释：

$\frac{BD}{CD} = \tan 65^{\circ}$

$BD=CD \cdot \tan 65^{\circ}$

平行四边形的面积是高度的乘积和基础,所以

$A = BD \cdot CD$

$100 = CD \cdot \tan 65^{\circ}\cdot CD$

$(CD)^{2} \cdot \tan 65^{\circ} = 100$

$(CD)^{2} = \frac{100}{\tan 65^{\circ} } = \frac{100}{2.1445} \approx 46.63$

$CD \approx \sqrt{46.63} \approx 6.83$

$\frac{CD}{BC} = \cos 65^{\circ}$

$\frac{BC} {CD}= \frac {1}{ \cos 65^{\circ}}$

$BC = \frac{CD}{ \cos 65^{\circ}}$

$BC \approx \frac{6.83}{0.4226} \approx 16.16$

平行四边形的周长是

AB + BC + CD + DA

=CD + BC + CD + BC

$\approx 6.83 + 16.16 + 6.83 +16.16$

$\approx 46.0$

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埃及开罗大学，电气工程学士学位。新墨西哥州立大学主校区，博士学位。

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雷德福大学，心理学学士。美国天主教大学心理学硕士。

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