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ACT数学:如何求多边形对角线的长度

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例子问题

例子问题1:其他多边形

多边形 ABCDEFGHI 是一个规则的九边多边形，还是九边形，周长500。哪个选项最接近对角线的长度 $\overline{AD}$ ?

可能的答案:

140

120

130

160

150

正确答案:

140

解释：

相等的边 $\overline{AB}$ ， $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ ，和对角线 $\overline{AD}$ 形成一个等腰梯形。

$\angle ABC$ 而且 $\angle BCD$ ．作为一个九边正多边形的角，有度量

$m \angle ABC = m\angle BCDC = \frac{180 ^{\circ } (9-2)}{9} =140^{\circ }$

另外两个角与这两个角互补:

$m \angle DAB = m \angle ADC = 180 ^{\circ }- 140^{\circ } = 40 ^{\circ }$

nonagon的一边长度是500的九分之一，所以

$AB = BC =CD= \frac{500}{9} \approx 55.56$

所形成的梯形如下(图非按比例绘制):

海拔 $\overline{BM}$ 而且 $\overline{CN}$ 底部已经画好了，所以

AD = AM + MN + ND

AD = AM + BC+ AM

$AD = 2 \cdot AM + 55.56$

$\frac{AM}{AB} = \cos 40^{ \circ}$

$AM=AB \cos 40^{ \circ} \approx 55.56 \cdot 0.7660 \approx 42.56$

$AD \approx 2 \cdot 42.56 + 55.56 \approx 140.68$

这使得140是最好的选择。

例子问题2:其他多边形

多边形 ABCDEFG 是一个规则的七边多边形，还是七边形，周长500。哪个选项最接近对角线的长度 $\overline{AD}$ ?

可能的答案:

140

150

160

180

170

正确答案:

160

解释：

相等的边 $\overline{AB}$ ， $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ ，和对角线 $\overline{AD}$ 形成一个等腰梯形。

$\angle ABC$ 而且 $\angle BCD$ ．作为一个七边正多边形的角，有度量

$m \angle ABC = m \angle BCD = \frac{180 ^{\circ } (7-2)}{7} \approx 128.57^{\circ }$

另外两个角与这两个角互补:

$m \angle DAB = m \angle ADC \approx 180 ^{\circ }- 128.57^{\circ }\approx 51.43 ^{\circ }$

一条边的长度是500的七分之一，所以

$AB = BC =CD= \frac{500}{7} \approx 71.42$

所形成的梯形如下(图非按比例绘制):

海拔 $\overline{BM}$ 而且 $\overline{CN}$ 底部已经画好了，所以

AD = AM + MN + ND

AD = AM + BC+ AM

$AD = 2 \cdot AM + 71.42$

$\frac{AM}{AB} = \cos 51.43^{ \circ}$

$AM=AB \cos 51.43^{ \circ} \approx 71.42 \cdot 0.6235 \approx 44.53$

$AD \approx 2 \cdot 44.53 + 71.42 \approx 160.48$

所以160是最好的选择。

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耶鲁-新加坡国立大学学院，文学，哲学学士。

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德克萨斯大学布朗斯维尔分校，学士，数学专业。德克萨斯大学布朗斯维尔分校，数学硕士。

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德克萨斯大学埃尔帕索分校，计算数学学士学位。印第安纳州立大学理学硕士…

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