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ACT数学:如何从有理数中找到指数

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例子问题

例子问题1:指数与有理数

哪个实数满足 $2 ^ {n} \ cdot 4 = 8 ^ {2}$ ?

可能的答案:

$3.$

$4$

$2$

$0$

$1$

正确答案:

$4$

解释：

化简方程，得到 $2 ^ {n} \ cdot 4 = 64$ ．

这进一步简化为 $2 ^ {n} = 16$ ．

$n = 4$ 满足这个方程。你也可以用 $16 \日志_ {2}$ 为了确定它 $2 ^ {4} = 16$ ．

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问题#2353:行为的数学

找到…的价值如果 $\frac{64}{27}=\left ( \frac{4}{3} \right )^{x}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

当一个分数上升到指数，分子和分母都上升到指数。因此，方程可以改写为 $\frac{64}{27}=\frac{4^{x}}{3^{x}}$ ．从这里开始，我们有两种选择。我们可以解出x $64=4^{x}$ 或 $27=3^{x}$ ．我们来解第一个方程。我们简单地将4乘以它自己，直到得到64。 $4^{1}=4$ ， $4^{2}=4\cdot4=16$ ， $4^{3}=4\cdot4\cdot4=64$ 等等。自 $4^{3}=64$ ，我们知道x = 3。

我们可以对第二个方程重复这个过程得到 $3^{3}=3\cdot3\cdot3= 27$ ，证实了我们之前的答案。然而，由于ACT是一个计时测试，所以最好只解出一个方程，然后继续前进。然后，如果你回答完所有问题后还有时间，你可以返回来，通过解另一个方程来再次检查你的答案。

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例子问题1:指数与有理数

如果 $\small f(x)=2\times x^{3}$ 而且 $\small g(x)=x+2$ ，什么是 $\small f(g(3))$ ?

可能的答案:

250

125

正确答案:

250

解释：

从内部开始。 $\small g(3)=3+2=5$ ．然后, $\small f(5)=2\times 5^{3}=2\times 125=250$ ．

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问题#2355:行为的数学

把每一项都用指数形式表示出来。

$\frac{\sqrt[3]{8x^{7}}}{\sqrt[4]{81x^2}}$

可能的答案:

这些都不正确。

$\frac{2x^{\frac{11}{6}}}{3}$

$\frac{2x^{\frac{7}{3}}}{3x^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2x^{\frac{7}{6}}}{3}$

$\frac{2x^{\frac{14}{3}}}{3}$

正确答案:

$\frac{2x^{\frac{11}{6}}}{3}$

解释：

指数比的规则是 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ．

使用这个，我们可以快速地转换分子和分母。

$\frac{\sqrt[3]{8x^{7}}}{\sqrt[4]{81x^2}} = \frac{(8^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{7}{3}})}{(81^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{2}{4}})} = \frac{2x^{\frac{7}{3}}}{3x^{\frac{1}{2}}}$

中间的步骤在转换是重要的，因为有一个很大的区别 $8^{\frac{1}{3}}$ 而且 $8^{\frac{7}{3}}$ 分母也是一样。

接下来，我们可以通过记住它来进一步简化

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ ．

找到最小公分母并简化:

$\frac{2x^{\frac{7}{3}}}{3x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2x^{(\frac{7}{3}-\frac{1}{2})}}{3} = \frac{2x^{\frac{11}{6}}}{3}$

因此,

$\frac{\sqrt[3]{8x^{7}}}{\sqrt[4]{81x^2}} = \frac{2x^{\frac{11}{6}}}{3}$

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例子问题2:指数与有理数

通常，解根方程就像转换成指数形式一样简单。

化简成指数形式:

$\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[5]{125}}$

可能的答案:

$25^{\frac{1}{5}}$

$125^{\frac{2}{15}}$

$\sqrt[15]{125^{2}}$

这些都不正确。

$625^{\frac{1}{3}}$

正确答案:

$125^{\frac{2}{15}}$

解释：

指数比的规则是 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ．

使用这个，我们可以快速地转换分子和分母。

$\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[5]{125}} = \frac{125^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{5}}}$

接下来，我们可以通过记住它来进一步简化

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ ．

找到最小公分母并简化:

$\frac{125^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{5}}} = 125^{\frac{5}{15}-\frac{3}{15}} = 125^{\frac{2}{15}}$

因此，我们的答案是 $125^{\frac{2}{15}}$ ．(记住，这个问题要求指数形式!)

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