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ACT数学:如何从指数中找到有理数

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例子问题

问题1:指数和有理数

下面哪个选项的值是满足 $\log_m256 =4$ ？

可能的答案:

正确答案:

解释：

当你有一个对数的形式

$y=\log_bx$ ，

它等于

b^y=x ．

利用已知的信息，我们可以把已知的方程写成第二种形式，得到

m^4=256 ．

现在解出我们得到了结果。

4^4=256

问题#2358:行为的数学

解出：

$\log _{a}243 = 5$

可能的答案:

正确答案:

解释：

当你有一个对数的形式

$\log _{b}x = y$ ，

它等于

b^y = x ．

我们可以把给定的方程重写为

a^5 = 243

解，我们得到

$\sqrt[5]{a^5} = \sqrt[5]{243}$

a = 3 ．

问题1:指数和有理数

解出：

$\log_{4}a = 5$

可能的答案:

1024

10,000

625

100,000

正确答案:

1024

解释：

当你有一个对数的形式

$\log _{b}x = y$ ，

它等于

b^y = x ．

我们可以把给定的方程重写为

4^5 = a

解，我们得到

a = 1024 ．

问题2360:行为的数学

将指数转换为有理数通常可以更快地简化这些数字。

下面哪个是不正确的？将指数转换为有理数。

可能的答案:

$18^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{18^2}$

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{8}$

$42^{\frac{0}{3}} = \sqrt[5]{1^{30}}$

$\sqrt[4]{625} = 25^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{10^{10}} = 10^2$

正确答案:

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{8}$

解释：

为了确定哪个答案是不正确的，我们需要进行每个转换。

首先让我们看看 $\sqrt[4]{625} = 25^{\frac{1}{2}}$

$625^{\frac{1}{4}}=5$

$25^{\frac{1}{2}}=5$ ．

因此这个转换是正确的。

接下来让我们看看 $42^{\frac{0}{3}} = \sqrt[5]{1^{30}}$ ．对于这个特殊的函数我们可以知道任何0次方的函数都是1因此这个变换是成立的。

让我们从这里来看 $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{8}$

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16}$

$\sqrt{16} = 4$

$\sqrt[3]{8} = 2$

因此

$\sqrt{16} \neq \sqrt[3]{8}$ ．因此，这是一个不正确的转换，这就是我们的答案。

问题1:指数和有理数

有时，看到有理数会更容易理解一个方程。

将下列数转换成一个或多个有理数:

$\frac{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{1}{15}}}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{15}}$

$5(\sqrt[5]{5})$

$\sqrt[4]{5} - 5$

$\sqrt[15]{5^{16}}$

$\sqrt[5]{25}$

正确答案:

$\sqrt[15]{5^{16}}$

解释：

将指数转换为有理数的规则是: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ ．

即使这样，我们也可以尽可能地用指数来解决问题，然后在没有空间时切换到有理表达式:

$\frac{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{1}{15}}} = \frac{5^{\frac{17}{15}}}{5^\frac{1}{15}} = 5^{\frac{17}{15}-\frac{1}{15}} = 5^{\frac{16}{15}}$

最后，我们进行转换，得到 $5^{\frac{16}{15}} = \sqrt[15]{5^{16}}$ ．

因此,

$\frac{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{1}{15}}} = \sqrt[15]{5^{16}}$ ．

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