一个学生得AScholastic Assessment Test (SAT)的成绩。大学招生委员会不知道考试的分数;然而,他们知道考试成绩是正态分布。他们也知道参加测试的学生的平均分数和标准偏差。
利用这些信息,判断学生在SAT考试中是否取得好成绩。
你的回答是:
这个学生的分数是平均的:接近平均值。
你的回答是:
该学生得分很低:低于平均值的一个标准差。
你的回答是:
这名学生的成绩很好,超过了平均水平的一个标准差。
你的回答是:
这个学生的分数非常低:低于平均值的两个标准差。
正确答案:
这个学生的成绩非常好,超过了平均值的两个标准差。
解释:
为了解决这个问题,让我们考虑概率和正常贝尔曲线分布。假设所有事件的可能性相同,则使用以下公式计算概率:
当某一特定事件的某一特定人群的概率被计算出来时,可以用频率图或直方图来表示。如果它们形成一个标准分布,那么图将形成以下形状:
这种形状被称为钟形曲线。在该曲线中,平均值称为算术平均值,表示为峰值。平均值改变了图形的位置。如果平均值增加或减少,则图形将分别向右或向左移动。平均值表示如下:
另一方面,标准偏差是一种计算方法,表明每个值偏离平均值的平均值。当标准偏差改变时,图形的形状也随之改变。当标准偏差减小时,图形会变得更高、更薄。同样,当标准偏差增加时,图形变得更短、更宽。值得注意的是,正常人群中99.7%的值存在于高于和低于平均值的三个标准偏差之间。它使用以下注释表示:
现在,我们已经讨论了贝尔曲线的组成部分,让我们考虑在这个问题中提出的情景。
我们知道考试成绩的分布遵循正态曲线。我们还知道以下值:
我们应该首先将数据绘制在一个曲线图上,曲线图的形状是一个钟形曲线,有三个标准差。
我们知道该学生的分数如下:
让我们计算两个高于平均值的标准偏差。
这个学生的成绩非常好:比平均值高出两个标准差以上。注意,在图上的这一点,曲线的尾部更接近水平轴或x轴。这意味着很少有学生在考试中得到这么高的分数。换句话说,这个学生表现得非常好。