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SSAT高级数学:如何找出直线是否垂直

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例子问题

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问题1:平行线和垂直线的性质

在坐标平面上画了三条线。

绿线有斜率 $\frac{2}{3}$ ,拦截 $\frac{4}{5}$ ．

蓝线有斜率 $\frac{3}{2}$ ,拦截 $-\frac{5}{4}$ ．

红线有斜率 $-\frac{2}{3}$ ,拦截 $-\frac{4}{5}$ ．

哪两条线互相垂直?

可能的答案:

绿线和红线是垂直的。

蓝线和绿线是垂直的。

蓝线和红线是垂直的。

没有两条直线是垂直的。

它不能从所给的信息中确定。

正确答案:

蓝线和红线是垂直的。

解释：

为了展示两条垂直线，将它们的斜率相乘;如果他们的产品，则直线垂直于拦截无关)。

这些直线的乘积在这里。

蓝绿线: $\frac{2}{3} * \frac{3}{2} = 1$

红绿线: $\frac{2}{3} * \left - \frac{2}{3} \right = -\frac{4}{9}$

蓝线和红线: $\frac{2}{3}* \left - \frac{3}{2} \right = -1$

蓝色和红色的线是垂直的。

我们还可以看到它们的斜率是负倒数，表示垂直线。

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问题1:平行线和垂直线的性质

两条垂直线相交于一点 (3,8) ．一条线也包括点 (4,-1) ．斜率是多少其他行吗?

可能的答案:

$\frac{1}{9}$

$-\frac{1}{9}$

回答这个问题所提供的信息不足。

正确答案:

$\frac{1}{9}$

解释：

两条垂直线的斜率互为倒数的对角。

求第一条直线的斜率 $x_{1} = 3, y_{1} =8, x_{2} = 4, y_{2} =-1$ 斜率公式中:

$m =\frac{ y_{1}-y_{2}}{ x_{1}-x_{2}}$

$m =\frac{ 8 - (-1)}{ 3-4} = \frac{ 9}{ -1} = -9$

第一条直线的斜率是，所以第二条直线的斜率是它的倒数，也就是 $\frac{1}{9}$ ．

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问题10:平行线和垂直线的性质

两条垂直线在原点相交;一条直线也经过这个点 (5,7) ．另一条直线的斜率是多少?

可能的答案:

$\frac{5}{ 7}$

没有足够的信息来解决这个问题。

$\frac{ 7}{5}$

$-\frac{5}{ 7}$

$-\frac{ 7}{5}$

正确答案:

$-\frac{5}{ 7}$

解释：

两条垂直线的斜率互为倒数的对角。

求第一条直线的斜率，代入 $x_{1} = 5, y_{1} =7, x_{2} = 0, y_{2} =0$ 斜率公式中:

$m =\frac{ y_{1}-y_{2}}{ x_{1}-x_{2}}$

$m =\frac{ 7-0}{5-0}=\frac{ 7}{5}$

第一条直线的斜率是 $\frac{ 7}{5}$ ，所以第二条直线的斜率是它的倒数，也就是 $-\frac{5}{ 7}$ ．

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问题1:如何找出直线是否垂直

下面哪条线垂直于这条线 3x-5y=11 ?

可能的答案:

3x+5y=-11

3y-5x=-3

9y+15x-54=0

10y-6x+5=0

5y+3x=2

正确答案:

9y+15x-54=0

解释：

对于这个问题，我们只关心直线的斜率。x和y轴截距无关紧要。

记住，垂直线的斜率是相对的倒数。把给定的方程带入 y=mx+b 形式，我们可以看到它的斜率是 $\frac{3}{5}$ ．我们要找的是一条斜率为 $-\frac{5}{3}$ ．

这个方程 9y+15x-54=0 可以放入表格吗 $y=-\frac{5}{3}x+6$ ，所以我们知道它垂直于给定的直线。

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问题1:如何找出直线是否垂直

直线A穿过原点 (8, 6) ．

直线B穿过原点 $\left ( -36, 64\right )$ ．

直线C穿过原点 $\left ( \frac{1}{12},- \frac{1}{16} \right )$ ．

直线D穿过原点 (0.9, -1.2) ．

直线E穿过原点 $\left ( \sqrt{2},-\sqrt{3} \right )$ ．

哪条线垂直于直线A?

可能的答案:

其他直线都不垂直于A。

线E

线维

直线C

直线B

正确答案:

线维

解释：

用斜率公式求出五条直线的斜率 $m= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ ．因为每条直线都经过原点，这个公式可以简化为

$m= \frac{y_{2}-0}{x_{2}-0} = \frac{y_{2} }{x_{2} }$

用另一个点。

一行:

$m = \frac{6 }{8 } = \frac{3}{4}$

正确的直线的斜率应该是它的倒数的对边，也就是 $m = -\frac{4}{3}$ ．

乙:行

$m = \frac{64 }{-36}= - \frac{16}{9}$

$m = \frac{ -\frac{1}{16} }{ \frac{1}{12}} = -\frac{1}{16} \div \frac{1}{12} = -\frac{1}{16} \cdot \frac{12} {1}= -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$

D行:

$m = \frac{-1.2 }{0.9 } = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3}$

E行:

$m = \frac{ - \sqrt{3}}{ \sqrt{2} } = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

在最后四条直线中，只有直线D有理想的斜率。

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问题3:如何找出直线是否垂直

直线W穿过原点和点 $\left (\frac{1}{4}, \frac{1}{9} \right )$ ．

直线X穿过原点和点 $\left (\frac{1}{4}, -\frac{1}{9} \right )$ ．

直线Y穿过原点和点 $\left ( \frac{1}{9} , \frac{1}{4}\right )$ ．

直线Z穿过原点和点 $\left ( \frac{1}{9} , -\frac{1}{4}\right )$ ．

哪条线垂直于方程的直线 4x-9y = 100 ?

可能的答案:

X线

行Z

线W

行Y

其他的回答都不正确。

正确答案:

行Z

解释：

首先，求方程直线的斜率 4x-9y = 100 把它写成斜截式

4x-9y = 100

-9y = -4x+100

$y =-\frac{1}{9} \left (-4x+100 \right )$

$y = \frac{4}{9} x-\frac{100 }{9}$

这条线的斜率是 $\frac{4}{9}$ ，所以我们要找一条斜率等于倒数倒数的直线 $-\frac{9}{4}$ ．

用斜率公式求四条直线的斜率 $m= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ ．因为每条直线都经过原点，这个公式可以简化为

$m= \frac{y_{2}-0}{x_{2}-0} = \frac{y_{2} }{x_{2} }$

用另一个点。

W:行

$m = \frac{y_{2} }{x_{2} }= \frac{ \frac{1}{9} }{ \frac{1}{4}} = \frac{1}{9} \div \frac{1}{4}= \frac{1}{9} \cdot \frac{4} {1} = \frac{4}{9}$

X行:

$m = \frac{y_{2} }{x_{2} }= \frac{ - \frac{1}{9} }{ \frac{1}{4}} =- \frac{1}{9} \div \frac{1}{4}= -\frac{1}{9} \cdot \frac{4} {1} =- \frac{4}{9}$

$m = \frac{y_{2} }{x_{2} }= \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{1}{9}} = \frac{1}{4} \div \frac{1}{9}= \frac{1}{4} \cdot \frac{9} {1} = \frac{9}{4}$

Z行:

$m = \frac{y_{2} }{x_{2} }= \frac{ -\frac{1}{4} }{ \frac{1}{9}} =-\frac{1}{4} \div \frac{1}{9}= -\frac{1}{4} \cdot \frac{9} {1} = -\frac{9}{4}$

直线Z有理想的斜率，是正确的选择。

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问题1:如何找出直线是否垂直

确定两个方程是平行的、垂直的还是两者都不是，并选择最佳理由。

$-2x+6y = 3 \textup{ and } -\frac{y}{3}=1$

可能的答案:

在垂直方向上，斜率是相互负倒数。

平行时，斜率是负倒数。

平行的，斜率相同。

两者的斜率都没有相关性。

垂直时，斜率是相同的。

正确答案:

两者的斜率都没有相关性。

解释：

将两个方程转换为斜截式: y=mx+b

-2x+6y = 3

6y =2x+3

$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}$

第一个方程的斜率是 $m_1=\frac{1}{3}$ ．

转换第二个方程。

$-\frac{y}{3}=1$

y=-3

这个方程的斜率是零，因为没有词! m_2=0

为了使两个函数平行，它们必须有相同的斜率。

为了使两个函数垂直，它们的斜率必须是彼此的负倒数。

由于两个斜率之间没有相关性，所以方程既不平行也不垂直。

正确答案是:

两者的斜率都没有相关性

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问题5:如何找出直线是否垂直

给定:坐标平面上的以下三条直线:

第一行:方程的直线 x = 7

第二行:方程的直线 y = 7

第三行:方程的直线 x+y=7

下列哪项是正确的陈述?

可能的答案:

直线1和直线2垂直;直线3不垂直于这两点。

直线1和直线3垂直;直线2不垂直于这两点。

其他的回答都不正确。

直线2和直线3垂直;直线1不垂直于这两点。

没有两条直线是相互垂直的。

正确答案:

直线1和直线2垂直;直线3不垂直于这两点。

解释：

直线1，方程的直线 x = 7 ，为坐标平面上的垂直线;直线2，方程的直线 y = 7 是一条水平线。直线1和2互相垂直。

直线3的斜率，方程的直线 x+y=7 ，可将方程写成斜截式:

x+y=7

x+y-x=7 - x

y = -1x+7

斜率是，这使得它垂直于一条斜线 $-\frac{1}{-1} = 1$ ．直线1是垂直的，斜率未定义，直线2是水平的，斜率为0。

正确回答:直线1和直线2垂直;直线3不垂直于这两点。

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问题6:如何找出直线是否垂直

方程的直线 6x - 8y = 17 垂直于坐标平面上下面哪条线?

可能的答案:

$y = \frac{3}{4}x$

$y =- \frac{4}{3}x$

$y =- \frac{3}{4}x$

$y = \frac{4}{3}x$

其他的回答都不正确。

正确答案:

$y =- \frac{4}{3}x$

解释：

首先，求直线的斜率 6x - 8y = 17 通过把方程改写成斜截式并记下系数：

6x - 8y = 17

6x - 8y-6 x = 17-6 x

- 8y = -6x+17

$\frac{- 8y}{-8} =\frac{ -6x+17}{-8}$

$y = \frac{3}{4}x-\frac{17}{8}$

这条线有斜率 $\frac{3}{4}$ ．

一条垂直于它的直线是有斜率的 $-1 \div \frac{3}{4} = -\frac{4}{3}$ ．选项中的四个方程，都是斜截式，只有 $y =- \frac{4}{3}x$ 这个斜率。

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问题7:如何找出直线是否垂直

矩形在坐标平面上的一条边有两个端点 (2, 4) 而且 (9, -1) ．

这条边的邻边的斜率是多少?

可能的答案:

$\frac{7}{5}$

$\frac{3}{7}$

$\frac{5}{7}$

$\frac{7}{3}$

没有一个回答是正确的。

正确答案:

$\frac{7}{5}$

解释：

首先，我们求出连接的线段的斜率 (2, 4) 或 (9, -1) ．使用这个公式

$m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

和设置

$x_{1} = 2, y_{1}=4, x_{2}= 9, y_{2} = -1$

我们得到了

$m = \frac{-1-4}{9-2}= \frac{-5}{7} = -\frac{5}{7}$

矩形的邻边是垂直的，所以它们的斜率是彼此的倒数的对角。因此，邻边的斜率是倒数的对边 $-\frac{5}{7}$ ,这是 $\frac{7}{5}$ ．

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