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SSAT高级数学:如何找到一个圆的方程

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例子问题

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问题1:如何求圆的方程

给出上述圆的方程。

可能的答案:

$(x+2)^{2}+ (y+4)^{2}= 25$

其他选项都不正确。

$(x+2)^{2}+ (y+4)^{2}= 5$

$(x-2)^{2}+ (y-4)^{2}= 5$

$(x-2)^{2}+ (y-4)^{2}= 25$

正确答案:

$(x-2)^{2}+ (y-4)^{2}= 25$

解释：

有圆心的圆 (h, k) 和半径有方程

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

圆有圆心 (2,4) 半径是5，所以代入

$(x-2)^{2}+ (y-4)^{2}= 5^{2}$

$(x-2)^{2}+ (y-4)^{2}= 25$

问题2:如何求圆的方程

坐标平面上的圆，其直径的端点为 (-3, 7) 和 (9, 5) ．给出它的方程。

可能的答案:

$(x+3)^{2}+ (y+6)^{2}=148$

$(x-3)^{2}+ (y-6)^{2}=148$

$(x-3)^{2}+ (y-6)^{2}=14$

$(x-3)^{2}+ (y-6)^{2}=37$

$(x+3)^{2}+ (y+6)^{2}=37$

正确答案:

$(x-3)^{2}+ (y-6)^{2}=37$

解释：

有圆心的圆 (h, k) 和半径有方程

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

圆直径的中点是它的圆心，所以用中点公式来求:

$\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$

$\left ( \frac{-3+9}{2}, \frac{7+5}{2} \right )$

(3, 6)

因此, h = 3 和 k = 6

半径是中心到一个端点之间的距离，所以利用距离公式使用 (3, 6) 和 (9, 5) ．我们将考虑求出半径的平方 $r^{2}$ ：

$r^{2}= \left ( x_{2}-x_{1}\right )^{2} + \left ( y_{2}-y_{1}\right )^{2}$

$r^{2}= \left (9-3\right )^{2} + \left ( 5-6\right )^{2}$

$r^{2}=6^{2} + \left (-1\right )^{2}$

$r^{2}=36+ 1= 37$

替代:

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

$(x-3)^{2}+ (y-6)^{2}=37$

问题3:如何求圆的方程

给出上述圆的方程。

可能的答案:

$x^{2}-6x + y ^{2}+4y-3=0$

$x^{2}+4x + y ^{2}-6y+9=0$

$x^{2}-4x + y ^{2}+6y-3=0$

$x^{2}+6x + y ^{2}-4y-3=0$

$x^{2}-4x + y ^{2}+6y+9=0$

正确答案:

$x^{2}+6x + y ^{2}-4y-3=0$

解释：

有圆心的圆 (h, k) 和半径有方程

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

圆有圆心 (-3, 2) 半径是4，所以代入

$(x-(-3))^{2}+ (y-2)^{2}= 4^{2}$

$(x+3)^{2}+ (y-2)^{2}= 16$

$x^{2}+6x + 9+ y ^{2}-4y+4= 16$

$x^{2}+6x + 9+ y ^{2}-4y+4- 16= 16-16$

$x^{2}+6x + y ^{2}-4y-3=0$

问题4:如何求圆的方程

坐标平面上的圆，其直径的端点为 (2, 7) 和 (-8, 3) ．给出它的方程。

可能的答案:

$x^{2}+6x + y^{2}-10y+63= 0$

$x^{2}-6x + y^{2}+10y+5 = 0$

$x^{2}+6x + y^{2}-10y-82= 0$

$x^{2}+6x + y^{2}-10y+5 = 0$

$x^{2}-6x + y^{2}+10y-82= 0$

正确答案:

$x^{2}+6x + y^{2}-10y+5 = 0$

解释：

有圆心的圆 (h, k) 和半径有方程

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

圆直径的中点是它的圆心，所以用中点公式来求:

$\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$

$\left ( \frac{2+(-8)}{2}, \frac{7+3}{2} \right )$

(-3, 5)

因此, h = -3 和 k = 5 ．

半径是中心到一个端点之间的距离，所以利用距离公式使用 (-3, 5) 和 (2, 7) ．我们将考虑求出半径的平方 $r^{2}$ ：

$r^{2}= \left ( x_{2}-x_{1}\right )^{2} + \left ( y_{2}-y_{1}\right )^{2}$

$r^{2}= \left ( 2- (-3)\right )^{2} + \left ( 7-5\right )^{2}$

$r^{2}= 5^{2} +2^{2}$

$r^{2}=25+ 4 = 29$

替代:

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

$(x-(-3))^{2}+ (y-5)^{2}= 29$

$(x+3)^{2}+ (y-5)^{2}= 29$

扩展:

$x^{2}+6x+9+ y^{2}-10y+25= 29$

$x^{2}+6x + y^{2}-10y+34= 29$

$x^{2}+6x + y^{2}-10y+34- 29 = 0$

$x^{2}+6x + y^{2}-10y+5 = 0$

问题5:如何求圆的方程

坐标平面上的圆有圆心 (4, -6) 和周长 $20 \pi$ ．给出它的方程。

可能的答案:

$(x+4)^{2}+ (y-6)^{2}=400$

$(x-4)^{2}+ (y+6)^{2}=100$

$(x+4)^{2}+ (y-6)^{2}=100$

$(x+4)^{2}+ (y-6)^{2}=10$

$(x-4)^{2}+ (y+6)^{2}=10$

正确答案:

$(x-4)^{2}+ (y+6)^{2}=100$

解释：

有圆心的圆 (h, k) 和半径有方程

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

中心是 (4, -6) ,所以 h = 4, k=-6 ．

找到，使用周长公式:

$2 \pi r = C$

$2 \pi r = 20 \pi$

r = 10

$r^{2} = 100$

替代:

$(x-4)^{2}+ (y-(-6))^{2}=100$

$(x-4)^{2}+ (y+6)^{2}=100$

问题6:如何求圆的方程

坐标平面上的圆有圆心 (2, 5) 和区域 $36 \pi$ ．给出它的方程。

可能的答案:

$(x+2)^{2}+ (y+5)^{2}= 6$

$(x+2)^{2}+ (y+5)^{2}= 18$

$(x-2)^{2}+ (y-5)^{2}= 36$

$(x-2)^{2}+ (y-5)^{2}=18$

$(x-2)^{2}+ (y-5)^{2}= 6$

正确答案:

$(x-2)^{2}+ (y-5)^{2}= 36$

解释：

有圆心的圆 (h, k) 和半径有方程吗?

$(x-h)^{2}+ (y-k)^{2}= r^{2}$

中心是 (2, 5) ,所以 h = 2, k = 5 ．

面积是 $36 \pi$ ，所以要找到 $r^{2}$ ，使用面积公式:

$\pi r^{2}= A$

$\pi r^{2}= 36 \pi$

$r^{2}= 36$

因此直线方程为:

$(x-2)^{2}+ (y-5)^{2}= 36$

问题7:如何求圆的方程

圆心在这的圆的方程是什么 (-4,5) 半径是？

可能的答案:

(x-4)^2+(y-5)^2=16

(x+4)^2+(y-5)^2=16

(x+4)^2+(y+5)^2=16

(x-4)^2+(y+5)^2=16

正确答案:

(x+4)^2+(y-5)^2=16

解释：

圆心圆的一般方程 (a,b) 和半径是:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

现在，代入题目给出的值:

(x-(-4))^2+(y-5)^2=4^2

(x+4)^2+(y-5)^2=16

问题8:如何求圆的方程

如果直径为5的圆的圆心位于 (2,-3) 圆的方程是什么?

可能的答案:

(x-2)^2+(y+3)^2=25

(x+2)^2+(y-3)^2=5

(x+2)^2+(y-3)^2=6.25

(x-2)^2+(y+3)^2=5

(x-2)^2+(y+3)^2=6.25

正确答案:

(x-2)^2+(y+3)^2=6.25

解释：

写出给定点的圆方程的公式， (h,k) ．

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

圆的半径是直径的一半，或者 2.5 ．

把所有的值代入公式并化简。

(x-2)^2+(y-(-3))^2=(2.5)^2

(x-2)^2+(y+3)^2=6.25

问题9:如何求圆的方程

给出坐标平面上圆的周长，方程为

$x^{2}+ y^{2}+ 4x- 6y + 2 = 0$

可能的答案:

$2 \pi \sqrt{11}$

$\pi \sqrt{13}$

$22 \pi$

$2 \pi \sqrt{2}$

$2 \pi$

正确答案:

$2 \pi \sqrt{11}$

解释：

圆方程的标准形式是

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2} = r^{2}$

在哪里是圆的半径。

我们可以把给出的一般形式的方程，写成标准形式如下:

$x^{2}+ y^{2}+ 4x- 6y + 2 = 0$

$x^{2}+ y^{2}+ 4x- 6y = -2$

$\left (x^{2}+ 4x \right )+\left ( y^{2}- 6y \right )= -2$

完成正方形。自 $\left ( \frac{4}{2} \right )^{2} = 4$ 和 $\left ( \frac{-6}{2} \right )^{2} = 9$ ，我们的做法如下:

$\left (x^{2}+ 4x +4 \right )+\left ( y^{2}- 6y +9\right )= -2+4+9$

$(x+2)^{2}+(y-3)^{2} = 11$

$r^{2} = 11$ ,所以 $r = \sqrt{11}$ ，圆的周长为

$C = 2 \pi r = 2 \pi \sqrt{11}$

问题10:如何求圆的方程

坐标平面上的正方形的顶点是点 (0,0), (0, 6), (6,0),(6,6) ．给出以正方形为圆周的圆的方程。

可能的答案:

$(x-6)^{2}+(y-6)^{2} = 18$

$(x-6)^{2}+(y-6)^{2} = 36$

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 9$

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 18$

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 36$

正确答案:

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 18$

解释：

下图是有问题的圆形和正方形:

轴上圆

内切圆的圆心与正方形的圆心重合，这就是点 (3,3) ．它的直径是正方形对角线的长度，也就是 $\sqrt{2}$ 乘以正方形的边长6，这是 $6 \sqrt{2}$ ．因此，它的半径是这个的一半，或者 $3 \sqrt{2}$ ．因此，在方程的标准形式中，

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2} = r^{2}$ ，

替代 h = k = 3 和 $r = 3 \sqrt{2}$ ．

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = \left (3 \sqrt{2} \right ) ^{2}$

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 3^{2} \left ( \sqrt{2} \right ) ^{2}$

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 9 \cdot 2$

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2} = 18$

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