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SSAT高级数学:如何找到如果两个锐角/钝角三角形相似

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例子问题

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问题141:三角形的性质

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF \sim \bigtriangleup GHI$ ．

AB = 20, AC = 30, BC = 25,DE = 50, HI = DF ．

评估．

可能的答案:

100

正确答案:

解释：

相似三角形的对应边成比例，所以

$\frac{DF}{AC} = \frac{DE}{AB}$

$\frac{DF}{30} = \frac{50}{20}$

$\frac{DF}{30} \cdot 30 = \frac{50}{20}\cdot 30$

DF = 75

因此, HI = 75 也

相似的是，

$\frac{GH}{AB} = \frac{HI}{BC}$

$\frac{GH}{20} = \frac{75}{25}$

$\frac{GH}{20}\cdot 20 = \frac{75}{25} \cdot 20$

GH = 60

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问题142:三角形的性质

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF \sim \bigtriangleup GHI$ ．

$\angle A \cong \angle I$ ．

下列哪一种情况是可能的?

我) $\bigtriangleup DEF$ 是锐角三角形。

(二) $\bigtriangleup DEF$ 钝角三角形与 $\angle D$ 钝角。

3) $\bigtriangleup DEF$ 钝角三角形与 $\angle E$ 钝角。

(四) $\bigtriangleup DEF$ 钝角三角形与 $\angle F$ 钝角。

可能的答案:

只适用于II及IV

我只

只有I和III

一、二、三、四

仅限II、III和IV

正确答案:

只有I和III

解释：

相似三角形的同位角相等，所以 $\angle A \cong \angle D$ 而且 $\angle F \cong \angle I$ ．自 $\angle A \cong \angle I$ ，因此， $\angle D \cong \angle F$ ．因为三角形的两个角不能大于 $90^{\circ }$ ,两个 $\angle D$ 而且 $\angle F$ 急性。没有提供任何信息 $\angle E$ ,所以 $\angle E$ 可以是锐角、右角或钝角。因此，场景(I)和(III)是可能的，但(II)和(IV)是不可能的。

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问题143:三角形的性质

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ； AB = 20, BC=DE=40, DF=80 ．

下面哪个选项是正确的 $\bigtriangleup ABC$ ?

可能的答案:

其他答案都不正确。

$\bigtriangleup ABC$ 是等腰的钝角。

$\bigtriangleup ABC$ 是斜角的锐角。

$\bigtriangleup ABC$ 是斜角和钝角。

$\bigtriangleup ABC$ 是等腰的锐角。

正确答案:

$\bigtriangleup ABC$ 是等腰的锐角。

解释：

相似三角形的对应边成比例，所以

$\frac{AC}{DF} = \frac{AB }{DE}$ 而且 $\frac{AB }{DE}= \frac{BC}{EF}$ ．

替换，我们从表述一得到

$\frac{AC}{80} = \frac{20}{40}$

$\frac{AC}{80} \cdot 80 = \frac{20}{40} \cdot 80$

AC = 40

自 AC =BC = 40 ， $\bigtriangleup ABC$ 是等腰。

我们可以比较较小的两个边的平方和和最大的边的平方和。

$20^{2}+40^{2}\; \square \; 40^{2}$

$400+ 1,600 \; \square \; 1,600$

$2,000 \; \square \; 1,600$

2,000 > 1,600

较小边的平方和大于第三边的平方和，所以 $\bigtriangleup ABC$ 是严重的。

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问题144:三角形的性质

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ； $m \angle A = 74 ^{\circ }, m \angle E = 32^{\circ }$

下面哪个选项是正确的 $\bigtriangleup DEF$ ?

可能的答案:

$\bigtriangleup DEF$ 是斜角和钝角。

$\bigtriangleup DEF$ 是等腰的锐角。

$\bigtriangleup DEF$ 是斜角的锐角。

$\bigtriangleup DEF$ 是等腰的钝角。

其他答案都不正确。

正确答案:

$\bigtriangleup DEF$ 是等腰的锐角。

解释：

相似三角形的同位角相等，所以三角形的角的度数 $\bigtriangleup ABC$ 等于的 $\bigtriangleup DEF$ ．

$\angle D \cong \angle A$ ,所以 $m \angle D = m \angle A = 74 ^{\circ }$ ．也 $m \angle E = 32^{\circ }$ ,所以

$m \angle F = 180^{\circ } - (m \angle D + m \angle E )$ ．

$= 180^{\circ } - (74^{\circ }+ 32^{\circ } )$

$= 180^{\circ } - 106^{\circ }$

$= 74 ^{\circ }$

三个角都小于 $90^{\circ }$ ,所以 $\bigtriangleup DEF$ 是严重的。而且，有两个角是相等的，所以根据等腰三角形逆定理， $\bigtriangleup DEF$ 是等腰。

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问题145:三角形的性质

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ； AB = AC = 50, BC = 40 ．

下面哪个选项是正确的 $\bigtriangleup DEF$ ?

可能的答案:

其他答案都不正确。

$\bigtriangleup DEF$ 是等腰的钝角。

$\bigtriangleup DEF$ 是等腰的锐角。

$\bigtriangleup DEF$ 是斜角的锐角。

$\bigtriangleup DEF$ 是斜角和钝角。

正确答案:

$\bigtriangleup DEF$ 是等腰的锐角。

解释：

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ，所以对应的边成比例;由此可见

$\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC}$

$\frac{DE}{50} = \frac{DF}{50 }$

DE = DF

因此, $\bigtriangleup DEF$ 是等腰。

同位角相等，如果 $\bigtriangleup ABC$ 锐角(或钝角)也是如此 $\bigtriangleup DEF$ ．我们可以比较较小边的平方和和最大边的平方和;

$40^{2}+50^{2}\; \square \; 50^{2}$

$1,600+2,500\; \square \; 2,500$

$4,100\; \square \; 2,500$

$4,100\; > \; 2,500$

较小边的平方和大于最大边的平方和，所以 $\bigtriangleup ABC$ 是急性的吗 $\bigtriangleup DEF$ ．正确的回答是 $\bigtriangleup DEF$ 是等腰的锐角。

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问题146:三角形的性质

下列哪个陈述可以证明这个陈述

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$

是假的吗?

可能的答案:

$m \angle A + m \angle B \ne m \angle D + m \angle E$

$\bigtriangleup ABC$ 而且 $\bigtriangleup DEF$ 有不同的周长

$\bigtriangleup ABC$ 而且 $\bigtriangleup DEF$ 有不同的区域

$AB + BC \ne DE+EF$

其他表述单独都不能证明这个表述 $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ 虚伪。

正确答案:

$m \angle A + m \angle B \ne m \angle D + m \angle E$

解释：

相似的三角形不一定有相等的边，所以不能得出这个结论 AB + BC = DE+EF 或者它们的周长相等。因此，它们的面积也不需要相等。

然而,如果 $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ，则同位角相等;具体地说, $m \angle A = m \angle D$ 而且 $m \angle B =m \angle E$ ．因此, $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ ．对换的,如果 $m \angle A + m \angle B \ne m \angle D + m \angle E$ ,然后 $\bigtriangleup ABC \nsim \bigtriangleup DEF$ ．

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问题11:如何找到如果两个锐角/钝角三角形是相似的

$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF \sim \bigtriangleup GHI$ ．

AB = 30, DE = 40, DF = 60, EF = 50, GI = 150 ．

的面积之比是多少 $\bigtriangleup GHI$ 到… $\bigtriangleup ABC$ ?

可能的答案:

36:1

625:36

16:1

100:9

225:2

正确答案:

100:9

解释：

两个三角形的相似比是它们对应边的长度之比。

的相似比 $\bigtriangleup DEF$ 来 $\bigtriangleup ABC$ 是

$\frac{DE}{AB} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$ ．

的相似比 $\bigtriangleup GHI$ 来 $\bigtriangleup DEF$ 是

$\frac{GI}{DF} = \frac{150}{60} = \frac{5}{2}$

将它们相乘得到的相似比 $\bigtriangleup GHI$ 来 $\bigtriangleup ABC$ ：

$\frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{6}= \frac{10}{3}$

两个相似图形的面积之比是它们相似比的平方，所以三角形面积之比为

$\left ( \frac{10}{3} \right )^{2} = \frac{100}{9}$ ．

正确的选择是 100:9 ．

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问题148:三角形的性质

考虑到: $\bigtriangleup ABC$ 而且 $\bigtriangleup DEF$ ； $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$ ．

下面哪一种说法可以不连同已知的一切，足以证明这一点 $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ?

可能的答案:

$\angle A \cong \angle D$

$\angle C \cong \angle F$

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$

已知的信息足以证明三角形相似。

$\frac{AC}{DF}= \frac{BC}{EF}$

正确答案:

$\angle C \cong \angle F$

解释：

从给定的比例表述和任意一个 $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$ 或 $\frac{AC}{DF}= \frac{BC}{EF}$ ，因此， $\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}= \frac{BC}{EF}$ -所有三对对应的边都成比例;根据左右相似度定理， $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ．从给定的比例表述和 $\angle A \cong \angle D$ ，由于这些是成比例的边的夹角，那么根据边角-边角相似定理， $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$ ．从给定的比例表述和 $\angle C \cong \angle F$ ，由于这些是成比例的边的非夹角，因此无法推导出相似度。

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