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SAT数学:函数的图形表示

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137练习测试今日问题抽认卡从概念中学习

例子问题

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例子问题1:函数的图形表示

y=a(x+5)(x-3)

是上面二次方程中的一个非零常数。当在-平面，方程是一个顶点在点上的抛物线 (m, n) ．价值是什么?

可能的答案:

-2a

-4a

-16a

-8a

正确答案:

-16a

解释：

有两种方法可以解决这个问题。首先，你可能会看到这个问题涉及到一个顶点，然后决定把方程写成顶点形式， y=a(x-h)^2+k ，其中顶点在点 (h, k) ．要使用顶点形式，请认识到您将需要使二次函数成为完全平方，使用术语平衡。在这里，如果你要把给定方程中的二次方程乘出来，你会得到:

y=a(x^2+2x-15)

注意，只有完全平方的二次与 +2x 中间项是 x^2+2x+1 ，它的因子是完全平方 (x+1)^2 ．为了把这个方程化成顶点形式，你需要转换 y=a(x^2+2x-15) 成 y=a(x^2+2x+1)+k ,在那里等于你转弯的步数在括号内．为了完成这一步，您添加了 16a (记住整个圆括号要乘以)．所以需要做减法 16a 在括号外面，以保持方程的平衡。这意味着你现在有:

y=a(x^2+2x+1)-16a ，或者直接分解成顶点形式 y=a(x+1)^2-16a ．

这意味着顶点在 (-1, -16a) ，或者更直接地说 k=-16a ．所以正确答案是 16a ．

你也可以用对称线来解。已知方程的0， y=a(x+5)(x-3) ，将在 x=-5 而且 x=3 ，因为这些是每个括号项等于零的点，所以就等于零。因为抛物线是对称的，它告诉你顶点在两点之间，在 x=-1 ．如果你把它代入顶点的-坐标，，你会得到相应的坐标:

y=a(-1+5)(-1-3)=a(4)(-4)=-16a ．

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例子问题2:函数的图形表示

Parabolaj

上图中的抛物线由方程定义 y=m(x-1)^2+n 在点处有一个顶点 (1, n) ．下列哪项对于由方程定义的抛物线是正确的 y=-m(x-b)^2+5 ?

可能的答案:

抛物线向下开口，在点处有一个顶点 (b, 5)

抛物线向上开口，在点处有一个顶点 (-b, 5)

抛物线向上开口，在点处有一个顶点 (b,5)

抛物线向下开口，在点处有一个顶点 (-b, 5)

正确答案:

抛物线向下开口，在点处有一个顶点 (b, 5)

解释：

抛物线的顶点形式是 a(x-h)^2+k ，在哪里 (h, k) 是抛物线的顶点，是的符号决定抛物线的开口方向。一个负开口向下，是正的打开向上。这里给定的抛物线已经确定了没有负号会指向上面，所以乘通过会使抛物线向下翻转。在顶点形式中，而且是而且，所以顶点在 (b, 5) ．

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例子问题3:函数的图形表示

完成正方形以计算给定函数的最大值或最小值点。

x^2+4x+7

可能的答案:

$\text{Maximum}=(-2,3)$

$\text{Minimum}=(-2,3)$

$\text{Minimum}=(2,3)$

$\text{Maximum}=(-2,-3)$

正确答案:

$\text{Minimum}=(-2,3)$

解释：

平方补全法使用完全平方的概念。回想一下完全平方的形式是，

$(ax\pm b)^2=(ax\pm b)(ax\pm b)$

当相乘时，

a^2x^2+2abx+b^2

中间项的系数除以2再平方，就得到最后一项的系数。

$2ab=\left(\frac{2ab}{2} \right )^2=b^2$

完成这个特定函数的正方形如下所示。

x^2+4x+7

首先确定中项系数。

$\text{Middle Term Coefficient}= 4$

现在把中间项系数除以2。

$\frac{4}{2}=2$

从这里写出完全平方函数。记住，当添加新的平方项时，要把它同时加到两边，以保持方程的平衡。

$x^2+4x+7=0\Rightarrow (x+2)^2+2^2+7=0+2^2$

化简后，新函数为，

$\\(x+2)^2+4+7=4 \\(x+2)^2+11=4 \\(x+2)^2=-7$

自 x^2 这一项是正的，抛物线就会变大。这意味着函数在顶点处有一个最小值。要找到顶点的值将二项式的内部部分设为零并求解。

$\\x+2=0 \\x+2-2=0-2 \\x=-2$

从这里，代入值转换为原函数。

x^2+4x+7

$\\y=(-2)^2+4(-2)+7 \\y=4-8+7 \\y=3$

因此，最小值出现在该点上 (-2,3) ．

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问题4:函数的图形表示

完成正方形以计算给定函数的最大值或最小值点。

x^2-6x-6

可能的答案:

(3,-15)

(-3,15)

(-3,-15)

(3,15)

正确答案:

(3,-15)

解释：

平方补全法使用完全平方的概念。回想一下完全平方的形式是，

$(ax\pm b)^2=(ax\pm b)(ax\pm b)$

当相乘时，

a^2x^2+2abx+b^2

中间项的系数除以2再平方，就得到最后一项的系数。

$2ab=\left(\frac{2ab}{2} \right )^2=b^2$

完成这个特定函数的正方形如下所示。

x^2-6x-6

首先确定中项系数。

$\text{Middle Term Coefficient}= -6$

现在把中间项系数除以2。

$\frac{-6}{2}=-3$

从这里写出完全平方函数。

$x^2-6x-6\Rightarrow (x-3)^2-6+(-3)^2$

化简后，新函数为，

$\\(x-3)^2-6+9\\(x-3)^2+3$

自 x^2 这一项是正的，抛物线就会变大。这意味着函数在顶点处有一个最小值。要找到顶点的值将二项式的内部部分设为零并求解。

$\\x-3=0 \\x-3+3=0+3\\x=3$

从这里，代入值转换为原函数。

x^2-6x-6

$\\y=(3)^2-6(3)-6 \\y=9-18-6 \\y=-15$

因此，最小值出现在该点上 (3,-15) ．

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例子问题1:函数的图形表示

完成正方形以计算给定函数的最大值或最小值点。

-x^2-8x-2

可能的答案:

(-4,-14)

(-4,14)

(14,-4)

(4,-14)

正确答案:

(-4,14)

解释：

平方补全法使用完全平方的概念。回想一下完全平方的形式是，

$(ax\pm b)^2=(ax\pm b)(ax\pm b)$

当相乘时，

a^2x^2+2abx+b^2

中间项的系数除以2再平方，就得到最后一项的系数。

$2ab=\left(\frac{2ab}{2} \right )^2=b^2$

完成这个特定函数的正方形如下所示。

-x^2-8x-2

首先提出一个- 1。

-1(x^2+8x+2)

现在求出中间项系数。

$\text{Middle Term Coefficient}= 8$

现在把中间项系数除以2。

$\frac{8}{2}=4$

从这里写出完全平方函数。

$-(x^2+8x+2)\Rightarrow-((x+4)^2+2+4^2)$

化简后，新函数为，

$\\-((x+4)^2+18)$

自 x^2 项是负的，抛物线开口向下。这意味着函数在顶点处有一个最大值。要找到顶点的值将二项式的内部部分设为零并求解。

$\\x+4=0 \\x+4-4=0-4 \\x=-4$

从这里，代入值转换为原函数。

-x^2-8x-2

$\\y=-(-4)^2-8(-4)-2 \\y=-16+32-2 \\y=14$

因此最大值出现在这一点上 (-4,14) ．

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例子问题1:函数的图形表示

下面这个函数的顶点在xy平面的哪个象限?

$f(x)=3x^{2}+30x+60$

可能的答案:

第二象限

顶点位于其中一个轴上，而不是在象限内。

象限我

第三象限

正确答案:

第三象限

解释：

求二次函数的顶点最好的方法是求而且在方程的顶点形式中 f(x)=a(x-h)2+k ，或利用公式而且．你的目标应该是把给定的方程化成这种形式。你可以这样开始:

$f(x)=3x^{2}+30x+60$

先把公约数3提出来:

$f(x)=3(x^{2}+10x+20)$

记住这些项的完全平方 $x^{2}+10x$ 将 $(x+5)^{2}$ 然后调整剩下的项保持等价:

$f(x)=3((x+5)^{2}-5)$

最后，你需要从括号中得到- 5，这样你就得到了要求的形式 $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ ．最后一步你可以看到:

$f(x)=3(x+5)^{2}-15$

所以, k=-15 而且 h=-5

因为 h=-5 而且 k=-15 重点是 (h,k) 是 (-5,-15) ，这意味着顶点位于象限III。

注意:你也可以简单地利用下面的两个公式来找到顶点:

$h=\frac{-b}{2a}k=c-ah^{2}$

自 a=3 ， b=30 ， c=60 ，我们可以代入方程

$h=\frac{-30}{6}=-5$

$k=60-3(-5)^{2}=60-75=-15$

因此顶点是 (-5,-15) ．

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示例问题7:函数的图形表示

这个多项式有多少个不同根 $y=x^{4}+3x^{3}-18x^{2}$ 有什么?

可能的答案:

正确答案:

解释：

这个方程并非完全不可能因式分解，但乍一看你可能没有注意到(或者在将来的问题中，你可能会尝试因式分解而陷入困境)。如果你在计算器部分看到这个问题，最有效的方法可能是简单地在计算器上画出它的图形，并计算图形与y轴接触的次数。你的图形看起来像这样:

屏幕截图2020 01上午9点36分44秒

可以看到，图形与y轴相交两次，第三次与y轴接触(在原点，或点(0,0))，因此答案是3。当然，你可以把这个方程因式分解出来。分解出公共的x2项会得到: $x^{2}(x^{2}+3x-18)$ ，然后可以因式分解为 $x^{2}(x+6)(x-3)$ ．因为你的目标是让y等于0(函数中的“0”或方程中的“根”的定义)，你可以设置它等于0: $x^{2}(x+6)(x-3)=0$ ．这意味着根是0，- 6和3，总共为3.的根源。

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例子问题1:函数的图形表示

下列哪一个表示给定函数的最大值或最小值点?

$f(x)=x^{2}+2x-4$

可能的答案:

(1、5)

正确答案:

(1、5)

解释：

平方补全法使用完全平方的概念。回想一下完全平方的形式是，

$(ax+/-b)^{2}=(ax+/-b)(ax+/-b)$

当相乘时，

$a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}$

中间项的系数除以2再平方，就得到最后一项的系数。

$2ab=(\frac{2ab}{2})^{2}=b^{2}$

完成这个特定函数的正方形如下所示。

$x^{2}+2x-4$

首先确定中项系数。

中项系数＝2

现在把中间项系数除以2。

$\frac{2}{2}=1$

从这里写出完全平方函数。记住，当添加新的平方项时，要把它同时加到两边，以保持方程的平衡。

$x^{2}+2x-4=0 \rightarrow (x+1)^{2}+1^{2}-4=0+1^{2}$

化简后，新函数为，

$(x+1)^{2}-4+1$

$(x+1)^{2}-3$

自 $x^{2}$ 这一项是正的，抛物线就会变大。这意味着函数在顶点处有一个最小值。要找到x顶点的值将二项式的内部部分设为零并求解。

x+1 = 0

x = -1

从这里，代入x值转换为原函数。

$y = (-1)^{2}+2(-1)-4$

y = -5

因此，最小值出现在该点上（−1，−5）．

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问题9:函数的图形表示

f(x)=(x-9)(x+5)

下面哪个选项是上面函数f的等价形式，其中f的最小值表现为常数或系数?

可能的答案:

f(x)=(x-3)(x-1)-48

f(x)=x^2-45

$f(x)=(x-2)^{2}-49$

f(x)=x^2-4x-45

正确答案:

$f(x)=(x-2)^{2}-49$

解释：

通过绘制函数图形，利用顶点公式，或者补全正方形，我们可以看到函数的最小值是-49。为了符合问题干的参数，这个最小值必须直观地出现在答案选项中，所以

$f(x)=(x-2)^{2}-49$

是我们唯一可行的选择。也就是说，我们可以通过“完成正方形”来证明这个过程。

这里，如果我们箔

f(x)=(x-9)(x+5) ，

我们到达

x^2-4x-45

为了完成这个正方形，我们需要相加，然后减去4，如下图所示

x^2-4x+4-4-45

化简为

x^2-4x+4-49

可以写成

(x-2)^2-49

顶点形式的等价方程!

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例子问题10:函数的图形表示

下列哪一个是不同的0 f(x)=x^2+13x+36 ?

我)9

(二)4

3) 4

可能的答案:

I和III

我只

II及III

以上都不是

正确答案:

I和III

解释：

为了解决这个问题，我们将通过检验来了解因数分解背后的数字意义。在二次结构中

f(x)=x^2+bx+c

我们要找两个数，它们相乘得到常数c，然后求和得到系数b

在本例中，这两个数字是9和-4，这意味着我们可以重新构造函数来读取

f(x)= (x+9)(x-4)

由于我们正在寻找x截距或“零”，我们希望我们的输出或“y”= 0，所以我们可以将函数的右边设置为零

0= (x+9)(x-4)

为了使这个方程成立，括号中的任何一个都需要等于零，也就是说如果

0= (x+9)

或

0= (x-4)

那么x可以等于-9或4。所以,I和III是函数的0。

*注意-如果在计算器友好的部分给出这个问题，我们也可以绘制和识别零*

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