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SAT数学:如何乘多项式

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例子问题

问题14:多项式操作

$F(x) = x^{3} + x^{2} - x + 2$

和

$G(x) = x^{2} + 5$

是什么 FG(x) ？

可能的答案:

$(FG)(x) = x^{5} + x^{4} +4x^{3} + 7x^{2} - 5x +10$

$(FG)(x) = x^{3} + 2x^{2} - x + 7$

$(FG)(x) = x^{3} - x - 3$

$(FG)(x) = x^{5} + x^{4} - x^{3} + 2x^{2} - 5x -10$

$(FG)(x) = x^{5} + x^{4} - x - 2$

正确答案:

$(FG)(x) = x^{5} + x^{4} +4x^{3} + 7x^{2} - 5x +10$

解释：

$(FG)(x) = F(x)G(x)$ 我们把这两个函数相乘得到答案。我们使用 $X ^{m} X ^{n} = X ^{m+n}$

问题2:新Sat数学没有计算器

查找产品:

( x^4-5x+7)(x^4+2x+1)

可能的答案:

x^4+8x^2+10x-9

x^8-3x^5+8x^4-10x^2+9x+7

x^8+7x^4-10x^2

x^7+9x^4-10x^2+8

x^6+5x^5+3x^4+x^2

正确答案:

x^8-3x^5+8x^4-10x^2+9x+7

解释：

查找产品:

( x^4-5x+7)(x^4+2x+1)

第一步:使用分配律。

x^4(x^4+2x+1)-5x(x^4+2x+1)+7(x^4+2x+1)

x^8+2x^5+x^4-5x^5-10x^2-5x+7x^4+14x+7

步骤2:组合相似的术语。

x^8+2x^5-5x^5+x^4+7x^4-10x^2-5x+14x+7

x^8-3x^5+8x^4-10x^2+9x+7

问题16:多项式操作

表示正数;表示一个负数。

$x^{4} = 116$

$y^{2} = 11$

评估 $(x- y)(x+y)(x^{2} + y^{2})$

可能的答案:

237

正确答案不在其他选项中。

正确答案:

解释：

前两个二项式是相同的两个表达式的差和，当它们相乘时，得到它们的平方之差:

$(x- y)(x+y)(x^{2} + y^{2})$

$=(x^{2}- y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

同样，一个和乘以一个差，得到一个平方差，根据幂次性质，等于:

$(x^{2}) ^{2} - (y^{2}) ^{2}$

$= x^{2\cdot 2} - y^{2\cdot 2}$

$= x^{4} - y^{4}$

$y^{2} = 11$ ，那么根据幂次的幂性质，

$(y^{2} )^{2}= 11^{2}$

$y^{2\cdot 2} = 121$

$y^{4} = 121$

同时, $x^{4} = 116$ ，所以我们现在可以相应地替换:

$(x- y)(x+y)(x^{2} + y^{2})$

$= x^{4} - y^{4}$

= 116 - 121

= -5

注意的标志和实际上与问题无关。

问题17:多项式操作

表示正数;表示一个负数。

$x^{6} = 625$

$y ^{6} = 64$

评估 $(x-y) (x^{2}+xy+y^{2})$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

$(x-y) (x^{2}+xy+y^{2})$ 可识别为符合两个完全立方之差的模式:

$(x-y) (x^{2}+xy+y^{2}) = x^{3} - y^{3}$

此外，通过幂的幂属性，

$(x^{3})^{ 2 } = x^{3 \cdot 2} = x^{6 }$ ,使 $x^{3}$ 的平方根 $x^{6}$ ，或625;自是正的，是吗 $x^{3}$ ,所以

$x^{3} = \sqrt{625} = 25$ ．

同样的, $y ^{3}$ 平方根是 $y ^{6}$ ，或64;自是负的，是吗 $y^{3}$ (因为负数的奇次幂是负的)所以

$y^{3} = - \sqrt{64} = -8$ ．

因此,用:

$(x-y) (x^{2}+xy+y^{2}) = x^{3} - y^{3} = 25 - (-8) = 25+8= 33$ ．

问题18:多项式操作

和表示正数。

$x^{2} = 20$

$y^{2} = 5$

评估 $(x-y) (x^{2}+xy+y^{2})$ ．

可能的答案:

$45 \sqrt{15 }$

$35 \sqrt{15 }$

$45\sqrt{5}$

$35 \sqrt{5}$

$5 \sqrt{5}$

正确答案:

$35 \sqrt{5}$

解释：

$(x-y) (x^{2}+xy+y^{2})$ 可识别为符合两个完全立方之差的模式:

$(x-y) (x^{2}+xy+y^{2}) = x^{3} - y^{3}$

此外,

$x^{2} = 20$ 和是正的，所以

$x = \sqrt{20}$

利用原子团积的性质，我们可以看到

$x = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4 } \cdot \sqrt{ 5} = 2 \sqrt{ 5}$

和

$x ^{3 } = x^{2} \cdot x = 20 \cdot 2 \sqrt{5} = 40 \sqrt{5}$

$y^{2} = 5$ 和是正的，所以

$y = \sqrt{5}$ ，

和

$y^{3}= y^{2} \cdot y = 5 \sqrt{5}$

代替 $x ^{3 }$ 和 $y^{3}$ 然后收集同类自由基，

$(x-y) (x^{2}+xy+y^{2})$

$= x^{3} - y^{3}$

$= 40 \sqrt{5}-5 \sqrt{5}$

$=( 40 -5 )\sqrt{5}$

$=35 \sqrt{5}$ ．

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