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例子问题

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例子问题1:序列

评估:

$\sum_{i = 1}^{\infty} \left (\frac{4}{3} \right )^{i}$

可能的答案:

$\frac{5}{4}$

$\frac{7}{4}$

$\frac{5}{3}$

级数发散

正确答案:

级数发散

解释：

一个无穷级数 $\sum_{i = 1}^{\infty}a^{i}$ 收敛为和的当且仅当 |a| < 1 ．然而，在这个系列中 $\sum_{i = 1}^{\infty} \left (\frac{4}{3} \right )^{i}$ ，情况并非如此，因为 $\left | \frac{4}{3} \right |= \frac{4}{3} > 1$ ．这个级数是发散的。

报告错误

例子问题1:序列

给出这个序列中的下一项:

$0,0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{8}, \frac{12}{13}, \frac{20}{21},$ _______________

可能的答案:

$\frac{25}{26}$

$\frac{34}{35}$

$\frac{31}{32}$

$\frac{33}{34}$

正确答案:

$\frac{33}{34}$

解释：

找到下一项的关键在于第三项之后的分母。它们是斐波那契数列中的项，以第1项和第1项开始，其后续项由前两项相加而成。

的数列的第Th项是数字 $\frac{F_{n}-1}{F_{n}}$ ,在那里 $F_{n}$ 是斐波那契数列中的第th个数(因为前两个斐波那契数列都是1，所以前两项都是0，符合这种模式)。13和21后面的斐波那契数是它们的和，34，所以数列中下一个数字是

$\frac{34-1}{34}= \frac{33}{34}$ ．

报告错误

例子问题3:序列

给出这个序列中的下一项:

12, 13, 17, 26, 42, 67, __________

可能的答案:

116

100

103

正确答案:

103

解释：

$12\textbf{ + 1} = 13$

$13\textbf{ + 4}= 17$

$17\textbf{ + 9}= 26$

$26\textbf{ + 16} = 42$

$42\textbf{ + 25}=67$

每一项都是由下一项加上一个完全平方整数得到的;增量每次都从一个正方形增加到下一个更大的正方形。为了保持模式，添加下一个完全正方形，36:

$67\textbf{ + 36 } =103$

报告错误

例子问题1:序列

给出这个序列中的下一项:

1, 1,3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, _____________

可能的答案:

342

339

340

343

341

正确答案:

341

解释：

每一项都是由前一项翻倍、加、减1交替得到，如下所示:

$1 \textbf{ x 2 - 1 } = 1$

$1 \textbf{ x 2 + 1 } = 3$

$3 \textbf{ x 2 - 1 } = 5$

$5 \textbf{ x 2 + 1 } = 11$

$11 \textbf{ x 2 - 1 } =21$

$21 \textbf{ x 2 + 1 } = 43$

$43\textbf{ x 2 - 1 } = 85$

$85 \textbf{ x 2 + 1 } = 171$

下一项推导如下:

$171 \textbf{ x 2 - 1 } = 341$

报告错误

例5:序列

给出这个序列中的下一项:

$1, \sqrt{2}, \sqrt{6}, 2\sqrt{6}, 2 \sqrt{30}, 12 \sqrt{5},$ _____________

可能的答案:

$84\sqrt{5}$

$12\sqrt{30}$

正确答案不在其他答案中。

$12 \sqrt{35}$

$72\sqrt{5}$

正确答案:

$12 \sqrt{35}$

解释：

如果将每个项重写为单个激进表达式，则模式将变得更加清晰:

$1 = \sqrt {1} = \sqrt{1!}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2!}$

$\sqrt{6} = \sqrt{3!}$

$2\sqrt{6} =\sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = \sqrt {24}=\sqrt{4!}$

$2 \sqrt{30}= \sqrt{4} \cdot \sqrt{30}= \sqrt{120} = \sqrt {5!}$

$12\sqrt{5} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{720} = \sqrt{6!}$

的第Th项是 $\sqrt{n!}$ ．因此，下一项(第七项)是

$\sqrt{7!}= \sqrt{5,040}= \sqrt{144} \times \sqrt{35} = 12 \sqrt{35}$

报告错误

例子问题6:序列

几何序列如下:

6 , i ,...

给出数列的下一项。

可能的答案:

$\frac{1}{6}$

6 - i

$-\frac{1}{6}$

-6 + 2i

6+ i

正确答案:

$-\frac{1}{6}$

解释：

公比等比数列的第二项和第一项的商:

$r = \frac{a_{2}}{a_{1}}= \frac{i}{6} = \frac{1}{6} i$

第二项乘以公比，得到第三项:

$a_{3} = r a_{2} = \frac{1}{6} i \cdot i = \frac{1}{6} \cdot i^{2}= \frac{1}{6} (-1)= -\frac{1}{6}$

报告错误

示例问题7:序列

几何序列如下:

$0.8 , \frac{6}{7} ...$

给出数列的下一项。

可能的答案:

$\frac{32}{35}$

$\frac{8}{9}$

$1 \frac{3}{25}$

$\frac{45}{49}$

正确答案:

$\frac{45}{49}$

解释：

将第一项改写为分数形式:

$0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

等比数列的公比可以用第二项除以第一项来求，所以

$r = \frac{6}{7} \div \frac{4}{5} = \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{14 }$

第三项等于第二项乘以公比:

$\frac{6}{7} \cdot \frac{15}{14 } = \frac{45}{49}$ ．

报告错误

例8:序列

几何序列如下:

1+ i, 2, ...

给出数列的下一项。

可能的答案:

4+i

2 - 2i

4 - i

2+ 2i

3- i

正确答案:

2 - 2i

解释：

公比等比数列的第二项和第一项的商:

$r = \frac{a_{2}}{a_{1}}= \frac{2}{1+i }$

用公比乘以第二项，得到第三项:

$a_{3} =r \cdot a_{2} = \frac{2}{1+i } \cdot 2 = \frac{4}{1+i }$

这可以通过对分母进行理性化，以标准形式表示;通过分子分母同时乘以分母的复共轭，也就是 1 - i ：

$\frac{4}{1+i }$

$= \frac{4(1-i)}{(1+i) (1-i) }$

$= \frac{4(1-i)}{1^{2}-i^{2}}$

$= \frac{4(1-i)}{1-(-1)}$

$= \frac{4(1-i)}{2}$

= 2(1-i)

= 2- 2i

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例子问题1:序列

几何序列如下:

$\sqrt{40} , - \sqrt{120},...$

用最简根式表示数列的下一项。

可能的答案:

$6 \sqrt{10}$

$10 \sqrt{2}$

$-2 \sqrt{70}$

正确答案:

$6 \sqrt{10}$

解释：

公比等比数列的第二项和第一项的商。利用自由基商的性质，我们可以得到:

$r = \frac{a_{2}}{a_{1}}= \frac{ -\sqrt{120}}{ \sqrt{40}} = - \sqrt{\frac{120}{40}} = -\sqrt{3}$

第二项乘以公比，然后使用根号积规则简化，得到第三项:

$a_{3} = r a_{2}$

$=-\sqrt{ 3 }\cdot( - \sqrt{120} )$

$= \sqrt{ 3 }\cdot\sqrt{120}$

$= \sqrt{360 }$

$= \sqrt{36} \cdot \sqrt{10 }$

$= 6 \sqrt{10}$

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问题141:Sat数学科目考试2

等比数列的第一项和第二项分别为 $\sqrt[3]{16}$ 而且 $\sqrt[3]{48}$ ,分别。用最简形式，下面哪项是第三项?

可能的答案:

$2 \sqrt[3]{10}$

$2 \sqrt[3]{18}$

$4 \sqrt[3]{5}$

正确答案:

$2 \sqrt[3]{18}$

解释：

公比可以用第二项除以第一项来确定等比数列的。这样做，并使用根号商规则来简化:

$r = \frac{ a_{2}}{ a_{1}} = \frac{ \sqrt[3]{48}}{ \sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{ \frac{48}{16}} = \sqrt[3]{3}$

用这个乘以第二项得到第三项，用根号积规则简化

$a_{3} = r a_{2} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{48}= \sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{18} = 2 \sqrt[3]{18}$

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