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数学二:余弦定律

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例子问题

例子问题1:余弦定律

三角形的三条边分别是10、12和16。它的任何一个角(最接近十分之一度)的最大度量是多少?

可能的答案:

$92.9^{\circ}$

$141.4^{\circ}$

$131.5^{\circ}$

$87.1^{\circ}$

$120.0^{\circ}$

正确答案:

$92.9^{\circ}$

解释：

我们要求的是最长边的对角，16。

我们可以用余弦定理 c = 16, a= 10, b = 12 ，并求解：

$\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}- c^{2}}{2ab}$

$\cos C = \frac{10^{2}+12^{2}- 16^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 12}$

$\cos C = \frac{100+144- 256}{240}$

$\cos C = \frac{-12}{240}$

$\cos C =- 0.0500$

$C = \cos ^{-1}(-0.0500) \approx 92.9^{\circ}$

例子问题1:余弦定律

三角形的三边长分别为15、17和30。它的角中最小的单位是多少(最接近十分之一度)?

可能的答案:

$70.9^{\circ}$

$68.3^{\circ}$

$19.1^{\circ}$

$67.8^{\circ}$

$21.7^{\circ}$

正确答案:

$19.1^{\circ}$

解释：

我们要求长度最小的边对边角15的长度。

我们可以用余弦定理 c = 15, a= 17, b = 30 ，并求解：

$\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}- c^{2}}{2ab}$

$\cos C = \frac{17^{2}+30^{2}- 15^{2}}{2 \cdot 17 \cdot 30}$

$\cos C = \frac{289+900- 225 }{1,020}$

$\cos C = \frac{964 }{1,020}$

$\cos C \approx 0.9451$

$C \approx \cos ^{-1} 0.9451 \approx 19.1^{\circ}$

例子问题1:余弦定律

考虑到: $\Delta ABC$ 与 $AB = 12, BC = 17, m \angle B= 136 ^{\circ}$ 。

下列哪一个整数最接近?

可能的答案:

正确答案:

解释：

应用余弦定律

$c =\sqrt{ a^{2}+b^{2}- 2ab \cos C}$

设置 $a = 12, b= 17, C= 136 ^{\circ}$ 并求解：

$c =\sqrt{ 12^{2}+17^{2}- 2\cdot 12 \cdot 17 \cos 136^{\circ}}$

$c \approx \sqrt{144+289-408 (-0.7193)}$

$c \approx \sqrt{144+289+293.49}$

$c \approx \sqrt{726.49}$

$c \approx 27.0$

在五个选项中，27是最接近的。

例子问题1:余弦定律

考虑到: $\Delta ABC$ 与 $AB = 12, BC = 16, m \angle B= 56 ^{\circ}$ 。

评估到最接近的十分之一。

可能的答案:

9.0

其他答案中没有给出正确答案。

14.7

13.0

13.6

正确答案:

13.6

解释：

应用余弦定律

$c =\sqrt{ a^{2}+b^{2}- 2ab \cos C}$

设置 $a = 12, b = 16, C = 56^{\circ}$ 并求解：

$c =\sqrt{ 12^{2}+16^{2}- 2\cdot 12 \cdot 16 \cos 56^{\circ}}$

$c \approx \sqrt{ 144+256- 384 \cdot 0.5592 }$

$c \approx \sqrt{ 144+256- 214.73 }$

$c \approx \sqrt{ 185.27 }$

$c \approx 13.6$

例子问题1:余弦定律

在 $\bigtriangleup ABC$ ：

AB = 12

AC = 15

$m \angle A = 105^{\circ }$

评估的长度 $\overline{BC}$ 精确到十分之一单位。

可能的答案:

16.6

21.6

26.8

21.2

19.2

正确答案:

21.6

解释：

所参考的数字如下:

三角形2

根据余弦定理，给定长度和三角形的两条边，以及长度 $\gamma$ 它们夹角的长度第三条边的长度可以用公式计算

$c^{2} = a ^{2} + b^{2} - 2ab \cos \gamma$

替换 a = AB = 12 ， b = AC = 15 ， c = BC , $\gamma = m \angle A = 105^{\circ }$ ，然后评价:

$(BC)^{2} = 12^{2} + 15 ^{2} - 2 (12)(15)\cos 105^{\circ }$

$\approx 144+225 - 360 (-0.2588 )$

$\approx 369 - (-93.17 )$

$\approx 369 - (-93.17 )$

$\approx 462.17$

两边取平方根:

$BC\approx \sqrt{462.17} \approx 21.6$

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