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数学二:函数与图的性质

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例子问题

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例子问题1:范围和域

定义 $f(x)= \frac{x- 4}{x-7}$ ．

给出的范围．

可能的答案:

$(-\infty, 4) \cup (4, 7) \cup (7, \infty)$

正确的范围不在其他响应中。

$(-\infty, 4) \cup (7, \infty)$

$(-\infty, 7) \cup (7, \infty)$

$(-\infty, 4) \cup (4, \infty)$

正确答案:

正确的范围不在其他响应中。

解释：

函数可以改写为:

$f(x)= \frac{x- 4}{x-7}$

$f(x)= \frac{x- 7 + 3}{x-7}$

$f(x)= \frac{x- 7 }{x-7}+ \frac{ 3}{x-7}$

$f(x)=1+ \frac{ 3}{x-7}$

表达式 $\frac{ 3}{x-7}$ 可以假设除0以外的任何值，那么表达式呢 $f(x)=1+ \frac{ 3}{x-7}$ 可以假设除1以外的任何值。因此，值域是除1或以外的所有实数的集合

$(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$ ．

这个选项不在回答之列。

例子问题2:范围和域

定义 $f(x)= \frac{x- 4}{x-7}$ ．

给出定义域．

可能的答案:

$(-\infty, 4) \cup (4, \infty)$

$(-\infty, 4) \cup (4, 7) \cup (7, \infty)$

$(-\infty, 4) \cup (7, \infty)$

(4,7)

$(-\infty, 7) \cup (7, \infty)$

正确答案:

$(-\infty, 7) \cup (7, \infty)$

解释：

在有理函数中，定义域恰好不包括使分母等于0的变量的值。设置分母来找到这些值:

x- 7 =0

x = 7

定义域是所有实数的集合，除了7，也就是说， $(-\infty, 7) \cup (7, \infty)$ ．

例子问题3:范围和域

定义 $f(x) = \sqrt[3]{100 - x^{2}}$

给出定义域．

可能的答案:

$(-\infty,10]$

$\left [0, 10 \right ]$

$\left [-10, 10 \right ]$

$\left [-10, \infty)$

$(-\infty, \infty)$

正确答案:

$(-\infty, \infty)$

解释：

每个实数都有一个实数立方根，所以立方根表达式的根号没有限制。定义域是所有实数的集合。

问题4:范围和域

定义 $f(x) = 2- 4\cos x$

给出的范围．

可能的答案:

[-6, 2]

[-6, -2]

[-2,6]

[2,6]

$\left ( -\infty, \infty\right )$

正确答案:

[-2,6]

解释：

$-1 \leq \cos x \leq 1$ 的任何实际值．

因此,

$-4(-1) \cdot \geq -4 \cdot \cos x \geq -4 \cdot 1$

$4 \geq -4 \cos x \geq -4$

$4 + 2 \geq -4 \cos x + 2 \geq -4 + 2$

$6 \geq 2-4 \cos x \geq -2$

$-2 \leq f(x) \leq 6$

范围是 [-2,6] ．

例子问题1:范围和域

定义 $f(x) = 2- \cos 4x$

给出的范围．

可能的答案:

[-2,2]

$\left [ 1,3\right ]$

[-2,6]

$\left ( -\infty, \infty\right )$

$\left [ 1,2\right ]$

正确答案:

$\left [ 1,3\right ]$

解释：

$-1 \leq \cos \theta \leq 1$ 的任何实际值 $\theta$ ,所以

$-1 \leq \cos 4x \leq 1$

$-1 \cdot \left (-1 \right ) \geq -1 \cdot \cos 4x \geq -1 \cdot 1$

$1 \geq - \cos 4x \geq -1$

$1+ 2 \geq - \cos 4x + 2 \geq -1 + 2$

$3 \geq 2 - \cos 4x \geq 1$

$1 \leq f(x) \leq 3$ ，

扩大范围 $\left [ 1,3\right ]$ ．

例子问题6:范围和域

定义 $f (x) = \sqrt{16-x^{2}}$ ．

给出的范围．

可能的答案:

[0, 16]

[0, 4]

[-16,16]

$(-\infty, 4]$

[-4,4]

正确答案:

[0, 4]

解释：

平方根符号中的根号必须是非负的，所以

$16 - x^{2} \geq 0$

$16 \geq x^{2}$

$x^{2} \leq 16$

当且仅当 $-4 \leq x \leq 4$ 的定义域是 [-4,4] ．

$f (x) = \sqrt{16-x^{2}}$ 假定其最大值时 $16-x^{2}$ ，即开点 [-4,4] 在哪里 $x^{2}$ 这是在 x = 0 ．

$f (0) = \sqrt{16-0^{2}} = \sqrt{16} = 4$

同样的, $f (x) = \sqrt{16-x^{2}}$ 假设它的最小值时 $16-x^{2}$ ，即开点 [-4,4] 在哪里 $x^{2}$ 这是在 $x = \pm 4$ ．

$f (4) = \sqrt{16-4^{2}} = \sqrt{0} = 0$

$f (-4) = \sqrt{16- \left (-4 \right )^{2}} = \sqrt{0} = 0$

因此，的范围是 [0, 4] ．

示例问题7:范围和域

定义 $f(x) = \frac{5}{\sin 4x}$

给出的范围．

可能的答案:

$\left ( -\frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right )$

$(- \infty, -5] \cup [5, \infty)$

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

$\left (- \infty, -\frac{5}{4} \right )\cup\left ( \frac{5}{4}, \infty \right )$

( -5 , 5 )

正确答案:

$(- \infty, -5] \cup [5, \infty)$

解释：

$f(x) = \frac{5}{\sin 4x}$ 可以改写为 $f (x) = 5 \csc 4x$ ．

对于所有的实值 $\theta$ ，

$\csc \theta\leq -1$ 或 $\csc \theta\geq 1$ ．

因此,

$\csc 4x \leq -1$ 或 $\csc 4x\geq 1$ 而且

$5 \csc 4x \leq -5$ 或 $5 \csc 4x\geq 5$ ．

的范围是 $(- \infty, -5] \cup [5, \infty)$ ．

例子问题1:范围和域

函数的定义域是什么 f(x)=x^2+3?

可能的答案:

$(-3,\infty )$

$(3,\infty)$

$[-\infty ,\infty]$

$(-\infty ,\infty)$

$[3,\infty)$

正确答案:

$(-\infty ,\infty)$

解释：

一个函数的定义域是该函数中所有的x值。这个函数 f(x)=x^2+3 是顶点为(0,3)的朝上抛物线。抛物线不断变宽，不受任何x值的限制，所以它会一直延伸下去。使用括号是因为无穷大不是一个可定义的数字，所以它不能被包括在内。

问题9:范围和域

函数的定义域是什么? $y=\sqrt{-10x+3}$

可能的答案:

$x\leq \frac{3}{10}$

$\textup{All real numbers.}$

$-\frac{3}{10}\leq x\leq \frac{3}{10}$

$x\geq \frac{3}{10}$

$x\leq- \frac{3}{10}$

正确答案:

$x\leq \frac{3}{10}$

解释：

注意这个函数类似于父函数 $y=\sqrt {x}$ ．的价值必须为零或更大。

建立一个不等式来确定定义域．

$-10x+3\geq 0$

两边同时减去3。

$-10x+3-3\geq 0-3$

$-10x\geq -3$

两边同时除以- 10。标志会转换。

$\frac{-10x}{-10}\geq \frac{-3}{-10}$

域为: $x\leq \frac{3}{10}$

例子问题10:范围和域

函数的值域是什么 $f(x)=\frac{2}{x}-3$ ?

可能的答案:

都是实数．

都是实数．

都是实数。

都是实数．

正确答案:

都是实数．

解释：

首先考虑术语 $\frac{2}{x}$ ． $\frac{2}{x}$ 对所有值都成立，除非 x=0 ．因此, $\frac{2}{x}-3$ 必须由除?以外的所有值定义因为方程向下平移了．

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