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例子问题

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问题64:Sat数学科目考试2

定义 $g(x)= \left | \left | 1,000- \sqrt{x}\right | - x^{2} \right |$ ．

评估 g(25) ．

可能的答案:

1,630

940,900

370

380

1,620

正确答案:

370

解释：

$g(x)= \left | \left | 1,000- \sqrt{x}\right | - x^{2} \right |$

$g(25)= \left | \left | 1,000- \sqrt{25}\right | - 25^{2} \right |$

$= \left | \left | 1,000-5\right | - 625 \right |$

$= \left | \left | 995 \right | - 625 \right |$

$= \left | 995 - 625 \right |$

$= \left | 370 \right |$

=370

报告错误

例子问题1:绝对值

定义 $f(x) = \left | 1 - x\right |$ ．

从最小到最大的顺序: $f\left ( \frac{9}{14} \right ), f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right )$

可能的答案:

$f\left ( \frac{17}{14} \right ), f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{9}{14} \right )$

$f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{9}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right )$

$f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right ),f\left ( \frac{9}{14} \right )$

$f\left ( \frac{9}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right ),f\left ( \frac{13}{14} \right )$

$f\left ( \frac{9}{14} \right ), f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right )$

正确答案:

$f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right ),f\left ( \frac{9}{14} \right )$

解释：

$f(x) = \left | 1 - x\right |$ ，或等价地，

$f(x) = \left | \frac{14}{14} - x\right |$

$f\left ( \frac{9}{14} \right ) = \left | \frac{14}{14} - \frac{9}{14}\right | = \left | \frac{5}{14} \right |=\frac{5}{14}$

$f\left ( \frac{13}{14} \right ) = \left | \frac{14}{14} - \frac{13}{14}\right |= \left | \frac{1}{14} \right |=\frac{1}{14}$

$f\left ( \frac{17}{14} \right ) = \left | \frac{14}{14} - \frac{17}{14} \right |= \left | - \frac{3}{14} \right |=\frac{3}{14}$

从最小到最大，值为

$f\left ( \frac{13}{14} \right ), f\left ( \frac{17}{14} \right ),f\left ( \frac{9}{14} \right )$

报告错误

示例问题31:数学关系

定义一个操作 $\Psi$ 如下:

对于所有实数 a , b ，

$a\Psi b = \frac{\left |1- a \right |}{1-\left |b \right |}$

评估 $2\frac{1}{2} \Psi \left (- \frac{1}{4} \right )$ ．

可能的答案:

$-1\frac{1}{5}$

未定义的。

$1\frac{1}{5}$

正确答案:

解释：

$a\Psi b = \frac{\left |1- a \right |}{1-\left |b \right |}$

$2\frac{1}{2} \Psi \left (- \frac{1}{4} \right ) = \frac{\left |1- 2\frac{1}{2} \right |}{1-\left |-\frac{1}{4}\right |}$

$= \frac{\left |-1\frac{1}{2} \right |}{1- \frac{1}{4}}$

$= \frac{ 1\frac{1}{2} }{ \frac{3}{4}}$

$= \frac{ \frac{3}{2} }{ \frac{3}{4}}$

$= \frac{3}{2} \div \frac{3}{4}$

$= \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}$

$= \frac{12}{6}$

报告错误

问题67:Sat数学科目考试2

定义一个操作 $\Psi$ 如下:

对于所有实数 a , b ，

$a\Psi b = \frac{\left |1- a \right |}{1-\left |b \right |}$

如果 $\frac{1}{2}\Psi N = 1$ 的可能值?

可能的答案:

$N =- \frac{1}{2}$

N =- 2

N =- 1

N =- 3

$N =- 1\frac{1}{2}$

正确答案:

$N =- \frac{1}{2}$

解释：

$a\Psi b = \frac{\left |1- a \right |}{1-\left |b \right |}$ ,所以

$\frac{1}{2}\Psi N = 1$

可以改写为

$\frac{\left |1- \frac{1}{2} \right |}{1-\left |N \right |} = 1$

$\frac{\left | \frac{1}{2} \right |}{1-\left |N \right |} = 1$

$\frac{ \frac{1}{2} }{1-\left |N \right |} = 1$

$\frac{1}{2} =1-\left |N \right |$

$-\frac{1}{2} =-\left |N \right |$

$\frac{1}{2} = \left |N \right |$

因此,要么 $N = \frac{1}{2}$ 或 $N =- \frac{1}{2}$ ．正确的选择是 $N =- \frac{1}{2}$ ．

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例子问题1:绝对值

定义 $f(x) = \left | x+ 6\right |+ \left | x-9\right |$ ．

方程的解集中有多少个值 f(x)= 7 ?

可能的答案:

没有解决方案

一个解决方案

无穷多个解

三个解决方案

两种解决方案

正确答案:

没有解决方案

解释：

我们可以将这个函数重写为分段定义的函数通过检查三个不同的区间值。

如果 x< -6 ,然后

x+ 6 < 0 而且 x-9 < 0 ，

函数的这一部分可以写成

$f(x) =- \left ( x+ 6\right )- \left (x-9\right )$

f(x) =-x-6-x+9

f(x)= -2x+3

如果 f(x)= 7 在这个定义下

-2x+3 = 7

-2x = 4

x = -2

然而, $-2 \nless -6$ 这是一个矛盾。

如果 $-6 \le x \le 9$ ,然后

$x+ 6\ge 0$ 而且 $x-9\le 0$ ，

函数的这一部分可以写成

$f(x) = \left ( x+ 6\right )- \left (x-9\right )$

f(x) =x+6-x+9

f(x) =15

这不会产生解。

如果 x> 9 ,然后

x+ 6 > 0 而且 x-9 > 0 ，

函数的这一部分可以写成

$f(x) = \left ( x+ 6\right ) + \left (x-9\right )$

f(x) =x+6+x-9

f(x)= 2x-3

如果 f(x)= 7 在这个定义下

2x-3 = 7

2x=10

x = 5

然而, $5 \ngtr 9$ 这是一个矛盾。

f(x)= 7 没有解。

报告错误

问题69:Sat数学科目考试2

定义 $f(x) = \left | x+ 5\right |+ \left | x-7\right |$ ．

方程的解集中有多少个值 f(x)= 12 ?

可能的答案:

一个解决方案

三个解决方案

没有解决方案

无穷多个解

两种解决方案

正确答案:

无穷多个解

解释：

我们可以将这个函数重写为分段定义的函数通过检查三个不同的区间值。

如果 x< -5 ,然后

x+ 5 < 0 而且 x-7 < 0 ，

函数的这一部分可以写成

$f(x) =- \left ( x+ 5\right )- \left (x-7\right )$

f(x) =- x-5 -x+7

f(x) =-2x+2

如果 $-5 \le x \le 7$ ,然后

$x+ 5 \ge 0$ 而且 $x-7 \le 0$ ，

函数的这一部分可以写成

$f(x) = \left ( x+ 5\right )- \left (x-7\right )$

f(x) =x+5 -x+7

f(x) =12

如果 x > 7 ,然后

x+ 5 > 0 而且 x-7 > 0 ，

函数的这一部分可以写成

$f(x) = \left ( x+ 5\right )+ \left (x-7\right )$

f(x) =x+5+x-7

f(x) =2x-2

函数可以重写为

$f(x)= \left\{\begin{matrix} -2x+2 & x < -5\\12 & -5 \le x \le 7 \\ 2x-2 & x > 7 \end{matrix}\right.$

从重写的定义可以看出，的每一个值在这段时间 [-5, 7] 是一个解 f(x)= 12 所以正确的答案是无穷多个解。

报告错误

例子问题1:绝对值

考虑二次方程

$2x^{2} + 12 = 11x$

下列哪个绝对值方程有相同的解集?

可能的答案:

$\left |x+2 \frac{3}{4} \right | =1 \frac{1}{4}$

其他选项都没有给出正确的答案。

$\left |x+ 1 \frac{1}{4} \right | =2 \frac{3}{4}$

$\left |x- 2 \frac{3}{4} \right | =1 \frac{1}{4}$

$\left |x- 1 \frac{1}{4} \right | =2 \frac{3}{4}$

正确答案:

$\left |x- 2 \frac{3}{4} \right | =1 \frac{1}{4}$

解释：

用减法把二次方程写成标准形式 11x 从双方:

$2x^{2} + 12 = 11x$

$2x^{2} + 12 - 11x = 11x - 11x$

$2x^{2} - 11x + 12= 0$

用方法。我们正在寻找两个整数，它们的和是谁的产品是 2(12) = 24 ；通过反复试验，我们发现确实如此，．方程变成了

$2x^{2} - 8x - 3x + 12= 0$

使用分组解决:

$(2x^{2} - 8x )- (3x - 12)= 0$

2x (x-4)- 3 (x-4)= 0

(2x - 3) (x-4)= 0

根据零积原理，这些因子中必须有一个等于0。

要么

2x- 3 = 0

2x- 3 + 3 = 0 + 3

2x= 3

$\frac{2x}{2}= \frac{3}{2}$

$x= \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

或

x- 4= 0

x- 4 + 4 = 0 + 4

x = 4

给定二次方程有解集 $\left \{ 1\frac{1}{2}, 4 \right \}$ 所以我们也在寻找这个集合的绝对值方程。

这个方程可以是这样的

|x-a| = b

这个可以写成复合方程

x-a = -b x-a = b

添加方程两边的解集是

x =a -b 而且 x =a + b

使这些数字的值与期望的解相等，我们得到线性系统

$a -b =1\frac{1}{2}$

a+ b = 4

的加法和解法：

$a -b =1\frac{1}{2}$

$\underline{a+ b =4}$

$= 5\frac{1}{2}$

$2a \div 2 = 5\frac{1}{2} \div 2$

$a = 2 \frac{3}{4}$

回溯求解：

a+ b = 4

$2 \frac{3}{4}+ b = 4$

$2 \frac{3}{4}+ b - 2 \frac{3}{4}= 4 - 2 \frac{3}{4}$

$b =1 \frac{1}{4}$

所求的绝对值方程是 $\left |x- 2 \frac{3}{4} \right | =1 \frac{1}{4}$ ．

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例子问题1:绝对值

解决 -8 - (2 |5x - 7|) = -14 ．

可能的答案:

$\frac{7}{9}, 5$

$\frac{2}{5}, 3$

$-\frac{5}{2}, -7$

$\frac{5}{4}, 4$

$\frac{4}{5}, 2$

正确答案:

$\frac{4}{5}, 2$

解释：

首先，我们需要分离出绝对值项。我们用了一些简单的代数运算:

-8 - (2 |5x - 7|) = -14

- (2 |5x - 7|) = -6

|5x - 7| = 3

现在我们解两个方程，一个方程右边是正的，一个是负的。让我们从积极的方面开始:

5x - 7 = 3

5x = 10

x=2

现在说说消极的一面:

5x - 7 = -3

5x = 4

$x=\frac{4}{5}$

所以我们的答案是:

$x=\frac{4}{5}, 2$

报告错误

例子问题2:绝对值

解决 7 + (5 |2x - 5|) = -8 ．

可能的答案:

没有解决方案

$\frac{1}{4}$

4, 1

正确答案:

没有解决方案

解释：

首先，我们必须分离出绝对值:

5 |2x - 5|= -15

|2x - 5|= -3

现在我们看一下方程。它说绝对值必须是负数，这是不可能的。所以不存在解。

报告错误

例子问题3:绝对值

解决 5 - (4 |-2x - 8|) = 5 ．

可能的答案:

没有解决方案

正确答案:

解释：

首先，我们需要分离出绝对值:

4 |-2x - 8| = 0

|-2x - 8| = 0

因为方程被设为时，可以去掉绝对值符号，正常求解:

-2x - 8= 0

-2x = 8

x=-4

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