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SAT II数学II:三维轴与坐标

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例子问题

例子问题1:三维轴和坐标

下面哪个数最接近三维坐标空间中端点为原点和点的线段长度 (3,4,5) ?

可能的答案:

6.5

7.5

8.5

正确答案:

解释：

使用三维的距离公式:

$d= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} +(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}$

$d= \sqrt{(3-0)^{2} +(4-0)^{2}+(5-0)^{2}}$

$d= \sqrt{3^{2} +4^{2}+5^{2}}$

$d= \sqrt{9+16+25}$

$d= \sqrt{50}$

$d \approx 7.1$

五个选项中最接近的是7。

报告错误

例子问题1:三维轴和坐标

一条线段 $\overline{AB}$ 在三维空间中有中点； $\overline{AM}$ 有中点．

有笛卡尔坐标吗 $\left ( 100, \frac{1}{2}, 100\right )$ ；有笛卡尔坐标吗 $\left ( 150, - \frac{1}{3}, -100\right )$ ．给协调的．

可能的答案:

$2\frac{1}{6}$

$-1\frac{5}{6}$

$-\frac{5}{6}$

$- 2\frac{5}{6}$

正确答案:

$- 2\frac{5}{6}$

解释：

的中点公式协调

$\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=y_{M}$

会不会申请两次，一次找到了协调的，然后再去找．

首先,设置 $y_{2}=\frac{ 1 }{2}$ ,协调的, $y_{M}= - \frac{1}{3}$ ,协调的，并求解 $y_{1}$ ,协调的：

$\frac{y_{1}+\frac{ 1 }{2}}{2}=- \frac{1}{3}$

$y_{1}+\frac{ 1 }{2}=- \frac{2}{3}$

$y_{1} =- 1\frac{1}{6}$

现在,设置 $y_{2}=\frac{ 1 }{2}$ ,协调的, $y_{M}=- 1\frac{1}{6}$ ,协调的，并求解 $y_{1}$ ,协调的：

$\frac{y_{1}+\frac{ 1 }{2}}{2}= - 1\frac{1}{6}$

$y_{1}+\frac{ 1 }{2} = - 2\frac{1}{3}$

$y_{1} = - 2\frac{5}{6}$

报告错误

例子问题3:三维轴和坐标

三维空间中的线段具有笛卡尔坐标的端点 (-4, 1, 8) 而且 $\left (5, -2, 7 \right )$ ．取最接近的十分之一，写出这段的长度。

可能的答案:

9.1

9.5

1.7

15.1

3.0

正确答案:

9.5

解释：

使用三维的距离公式:

$d= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} +(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}$

$d= \sqrt{(-4-5)^{2} +(1-(-2))^{2}+(8-7)^{2}}$

$d= \sqrt{(-9)^{2} +3^{2}+1^{2}}$

$d= \sqrt{81+9+1}$

$d= \sqrt{91}$

$d \approx 9.5$

报告错误

问题4:三维轴和坐标

在三维空间中，金字塔的四个顶点位于坐标点上 (6,0,0) ,(0,9,0), (0,0,12) ，和原点。给出这个金字塔的体积。

可能的答案:

648

162

108

正确答案:

108

解释：

连接原点和其他点的三条线段都包含在一个- - - - - -,- - - - - -,——轴。因此，这个图形可以被看作是一个金字塔，其底部是一个直角三角形-平面顶点 (6,0,0) ,(0,9,0) ，原点，高度为原点和的段 (0,0, 12) 作为它的端点。

连接原点和 (6,0,0) 是底座的一条腿，长度为6;连接原点和 (0,9,0) 是底座的另一条腿，长度为9;因此，基座的面积为

$B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$

连接原点和 (0,0, 12) 是海拔;它的长度-金字塔的高度-是12。

金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 = 108$

报告错误

例5:三维轴和坐标

在三维空间中，金字塔的四个顶点位于坐标点上 (X,0,0) ,(0,Y,0), (0,0,Z) ，和原点。给出这个金字塔的体积。

可能的答案:

$\frac{1}{3}XYZ$

XYZ

$\frac{1}{2}XYZ$

$\frac{1}{6}XYZ$

$\frac{2}{3}XYZ$

正确答案:

$\frac{1}{6}XYZ$

解释：

连接原点和其他点的三条线段都包含在一个- - - - - -,- - - - - -,——轴。因此，这个图形可以被看作是一个金字塔，其底部是一个直角三角形-平面顶点 (X,0,0) ,(0,Y,0) ，原点，高度为原点和的段 (0,0, Z) 作为它的端点。

连接原点和 (X,0,0) 底座的一条腿是否有长度；连接原点和 (0,Y,0) 另一条腿是否有底座和长度；因此，基座的面积为

$B = \frac{1}{2} XY$

连接原点和 (0,0, Z) 是海拔;它的长度-金字塔的高度-是．

金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}XY \cdot Z= \frac{1}{6}XYZ$

报告错误

例子问题6:三维轴和坐标

一条线段 $\overline{AB}$ 在三维空间中有中点； $\overline{AM}$ 有中点．

有笛卡尔坐标吗 $\left ( 100, \frac{1}{2}, 100\right )$ ；有笛卡尔坐标吗 $\left ( 150, - \frac{1}{3}, -100\right )$ ．给协调的．

可能的答案:

正确答案:

解释：

的中点公式协调

$\frac{z_{1}+z_{2}}{2}=z_{M}$

会不会申请两次，一次找到了协调的，然后再去找．

首先,设置 $z_{2}= 100$ ,协调的, $z_{M}= -100$ ,协调的，并求解 $z_{1}$ ,协调的：

$\frac{z_{1}+100}{2}=-100$

$z_{1}+100 = -200$

$z_{1}=-300$

现在,设置 $z_{2}= 100$ ,协调的, $z_{M}= -300$ ,协调的，并求解 $z_{1}$ ,协调的：

$\frac{z_{1}+100}{2}= -300$

$z_{1}+100 = -600$

$z_{1}=-700$

报告错误

例子问题1:三维轴和坐标

一条线段 $\overline{AB}$ 在三维空间中有中点； $\overline{AM}$ 有中点．

有笛卡尔坐标吗 $\left ( 100, \frac{1}{2}, 100\right )$ ；有笛卡尔坐标吗 $\left ( 150, - \frac{1}{3}, -100\right )$ ．给协调的．

可能的答案:

300

500

250

正确答案:

300

解释：

的中点公式协调

$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}= x_{M}$

会不会申请两次，一次找到了协调的，然后再去找．

首先,设置 $x_{2}= 100$ ,协调的, $x_{M}= 150$ ,协调的，并求解 $x_{1}$ ,协调的：

$\frac{x_{1}+100}{2}= 150$

$x_{1}+100 = 300$

$x_{1}=200$

现在,设置 $x_{2}= 100$ ,协调的, $x_{M}= 200$ ,协调的，并求解 $x_{1}$ ,协调的：

$\frac{x_{1}+100}{2}= 200$

$x_{1}+100 = 400$

$x_{1}=300$

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