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SAT II数学I:实数与复数

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例子问题

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问题31:Sat数学科目考试I

先:

$\frac{45-35i}{5i}$

可能的答案:

-9 - 7i

-7+9i

7 - 9i

9 - 7i

-7 - 9i

正确答案:

-7 - 9i

解释：

分子分母同时乘以，然后依次除:

$\frac{45-35i}{5i}$

$= \frac{\left (45-35i \right )\cdot i}{5i \cdot i}$

$= \frac{ 45\cdot i-35i\cdot i }{5i ^{2}}$

$= \frac{ 45 i-35i ^{2}}{5i ^{2}}$

$= \frac{ 45 i-35(-1) }{5 (-1)}$

$= \frac{ 45 i- (-35) }{-5 }$

$= \frac{35+ 45 i }{-5 }$

$= \frac{35 }{-5 } + \frac{ 45 i }{-5 }$

= -7 - 9i

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例子问题1:实数与复数

下面哪个等于 $\left (5i \right ) ^{3}$ ?

可能的答案:

-125i

-15i

15i

125i

正确答案:

-125i

解释：

根据乘积性质的幂，

$\left (5i \right ) ^{3} = 5^{3} \cdot i^{3} = 125(-i)= -125i$

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例子问题2:实数与复数

繁殖:

$3 i \cdot 5i \cdot 7i \cdot 2i$

可能的答案:

其他的答案都不正确。

210

210i

-210i

正确答案:

210

解释：

$3 i \cdot 5i \cdot 7i \cdot 2i$

$= 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot i \cdot i \cdot i \cdot i$

$= 210 \cdot i ^{4} = 210 \cdot 1 = 210$

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示例问题3:实数与复数

下面哪个等于 $\left (2i \right )^{6}$ ?

可能的答案:

12i

64i

正确答案:

解释：

根据乘积性质的幂，

$\left (2i \right )^{6} = 2^{6} \cdot i^{6} = 2^{6} \cdot i^{4} \cdot i^{2} = 64 \cdot 1 \cdot (-1) = -64$

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示例问题5:实数与复数

下面哪个等于 $i^{-33}$ ?

可能的答案:

表达式未定义。

正确答案:

解释：

$i^{-33} = \frac{1}{i^{33}}$

提高将指数除以4取幂，记下余数，然后取上取余数的幂:

$33 \div 4 = 8 \textrm{ R }1$

$i^{33} = i ^{1} = i$

因此, $i^{-33} = \frac{1}{i^{33}} = \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i\cdot i} = \frac{i}{-1} = -i$

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例子问题1:实数与复数

复数的共轭是什么 3-2i

可能的答案:

2i-3

3+2i

-2i

正确答案:

3+2i

解释：

求这个形式的复数的共轭 $\small a\pm bi$ 改变复项的符号。这个问题的复杂部分是 $\small -2i$ 所以改变符号就是a $\small +2i$ ．实数部分的符号，在这里是3，符号不变。

3+2i

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问题31:数论

$\overline{x}$ 表示复共轭．

如果 x = 5 + 2i ,然后评估 $x^{2} - \overline{x}^{2}$ ．

可能的答案:

40 i

-40 i

正确答案:

40 i

解释：

通过平方的差异，

$x^{2} - \overline{x}^{2} = (x+\overline{x}) (x-\overline{x})$

如果 x = 5 + 2i ,然后 $\overline{x} = 5- 2i$ ．结果:

$x+\overline{ x} = (5+2i) + (5- 2i) = 5+ 5 + 2i - 2i = 10$

$x-\overline{ x} = (5+2i) - (5- 2i) = 5- 5 + 2i +2i = 4 i$

因此,

$x^{2} - \overline{x}^{2}$

$= (x+\overline{x}) (x-\overline{x})$

$= 10 \cdot 4i$

= 40i

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例子问题1:实数与复数

哪个选项的实数值最大?

可能的答案:

$i^4 + i^8 + i^{12} +i^ {16}$

$i^{40} + i^2 + i^{13} +i^ {11}$

$i^4 + i^6 + i^{14} +i^ {24}$

$i + i^3 + i^{7} +i^ {9}$

$i^2 + i^8 + i^{10} +i^ {16}$

正确答案:

$i^4 + i^8 + i^{12} +i^ {16}$

解释：

回想一下和它的指数

$i = \sqrt[]{-1}$

i^2 = -1

i^3 = -i

i^4 = 1

因为 i^4 = 1 然后

$i^5 = i^4\cdot i =1\cdot i =i$ ．

我们可以这样概括

$i^n =i^{n-4}$

任何时候那么它是4的倍数吗 i^n =1 ．的任何其他值我们得到一个更小的值。

为了得到正确答案，每一项相等

$i^4 =i^8 =i^{12} = i^{16} =1$

所以:

$i^4 + i^8 + i^{12} +i^ {16}$

1+1+1+1

因为所有备选选项都有4项，而且每个选项至少有一个不等于的项它们都小于正确答案。

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示例问题4:实数与复数

让而且是复数。 $\overline{x}$ 而且 $\overline{y}$ 表示它们的共轭复数。

x+y = 30 + 50i ．

评估 $\overline{x} - \overline{y}$ ．

可能的答案:

$\textup{The question cannot be answered from the information given}$

60-100i

100i

60+100i

正确答案:

$\textup{The question cannot be answered from the information given}$

解释：

让 x = a+ bi, y = c+ di ，其中所有变量都表示实数。

然后

x +y = a+ c+ bi + di

x +y =( a+ c)+ (b + d)i

自

x+y = 30 + 50i ，

如果遵循

a+ c = 30

而且

b+ d = 50

同时,根据定义,

$\overline{x} = a- bi, \overline{y} = c-di$

$\overline{x} - \overline{y} = (a-bi) - (c- di)$

$\overline{x} - \overline{y} = a - c-bi + di$

$\overline{x} - \overline{y} =( a - c)+ (-b + d)i$

众所周知， a+ c = 30 而且 b+ d = 50 但如果没有进一步的信息，就无法确定 a - c 0 r -b+d ．因此, $\overline{x} - \overline{y}$ 无法评估。

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例子问题1:实数与复数

让是复数。 $\overline{x}$ 表示复共轭．

$x+\overline{ x} = 16$ 而且 $x-\overline{ x} = 40i$ ．

评估．

可能的答案:

8 + 20 i

20 + 8i

8 - 20 i

这些

20 - 8i

正确答案:

8 + 20 i

解释：

是复数，所以呢 x = a+ bi 对于一些真正的 a ,b ；同时, $\overline{x} = a-bi$ ．

因此,

$x+\overline{ x} = (a+ bi) + (a-bi) = a+ a + bi - bi = 2a$

替换:

$x+\overline{ x} = 16$

2a = 16

a = 8

同时,

$x - \overline{ x} = (a+ bi) - (a-bi) = a- a + bi+ bi = 2bi$

替换:

$x-\overline{ x} = 40i$

2bi = 40 i

2b= 40

b = 20

因此,

x = a+ bi = 8 + 20 i

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