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SAT II数学I:函数和图

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例子问题

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例子问题1:范围和领域

定义 $f (x) = \sqrt{25-x^{2}}$ 。

给出的范围。

可能的答案:

$(-\infty, 5]$

[0, 25]

[-25,25]

[0, 5]

[-5,5]

正确答案:

[0, 5]

解释:

平方根符号中的根号必须是非负的，所以

$25 - x^{2} \geq 0$

$25 \geq x^{2}$

$x^{2} \leq 25$

这是当且仅当 $-5 \leq x \leq 5$ ，所以领域的是 [-5,5] 。

$f (x) = \sqrt{25-x^{2}}$ 假定其最大值时 $25-x^{2}$ ，这是重点 [-5,5] 在哪里 $x^{2}$ 这是在 x = 0 。

$f (0) = \sqrt{25-0^{2}} = \sqrt{25} = 5$

同样的, $f (x) = \sqrt{25-x^{2}}$ 时取其最小值 $25-x^{2}$ ，这是重点 [-5,5] 在哪里 $x^{2}$ Is greatest -这是at $x = \pm 5$ 。

$f (5) = \sqrt{25-5^{2}} = \sqrt{0} = 0$

$f (-5) = \sqrt{25-\left (-5 \right )^{2}} = \sqrt{0} = 0$

因此，的范围是 [0, 5] 。

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例子问题1:功能和图表

定义 $f (x) = \sqrt{16-x^{2}}$ 。

给出的域。

可能的答案:

$(-\infty, 4]$

[-4,4]

$(-\infty, \infty)$

[0, 4]

$[-4, \infty)$

正确答案:

[-4,4]

解释:

平方根符号中的根号必须是非负的，所以

$16 - x^{2} \geq 0$

$16 \geq x^{2}$

$x^{2} \leq 16$

这是当且仅当 $-4 \leq x \leq 4$ ，所以领域的是 [-4,4] 。

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例子问题1:范围和领域

定义的函数和关于实数的集合如下:

$f (x) = \sqrt{x- 4}$

$g(x) = x^{2} + 8$

给出复合函数的自然域 $f \circ g$ 。

可能的答案:

$\left [-2, \infty \right )$

$\left [ 2, \infty \right )$

$\left [ 2\sqrt{2} , \infty \right )$

$\left [-2\sqrt{2} , \infty \right )$

所有实数的集合

正确答案:

所有实数的集合

解释:

复合函数的自然域 $f \circ g$ 定义为两个集合的交集。

一套是自然领域的。自是一个多项式，它的定义域是所有实数的集合。

另一套是所有值的集合这样, g(x) 的领域。因为根号的平方根在必须是负的,

$x- 4 \geq 0$ , $x \geq 4$ 的领域。

所以，另一套就是一切的套这样

$g(x) \geq 4$

替代:

$x^{2}+8 \geq 4$

$x^{2} \geq -4$

这对所有实数都成立，所以这个集合也是所有实数的集合。

自然领域 $f \circ g$ 是所有实数的集合。

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例子问题1:领域和范围

f(x) 是正弦曲线。这个函数的定义域和值域是什么?

可能的答案:

域名:全实数

范围: $-1\leq f(x)\leq1$

域名:全实数

范围: -1 < f(x) < 1

正确答案:

域名:全实数

范围: $-1\leq f(x)\leq1$

解释:

定义域包括进入函数的值(x值)，值域是出来的值(x值) f(x) 或y的值)。正弦曲线表示以固定频率重复的波。根据这张图，最大值 f(x) 等于1，而最小值等于-1。x值可以覆盖所有实数，因为正弦函数的输入没有限制。函数的定义域都是实数，值域是 $-1\leq f(x)\leq1$ 。

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例子问题1:领域和范围

下列哪项不是函数?

可能的答案:

$y = x^{3} -x +5$

$y = -\sqrt{x^{2}-16}$

$y = \sqrt{x-9} +3$

$x=\left | y\right |$

6x - 3y = 11

正确答案:

$x=\left | y\right |$

解释:

函数必须通过垂直线测试，这意味着垂直线只能穿过函数一次。换句话说，对于的任意给定值，只能有一个值。函数的 $x=\left | y\right |$ ，有一个两种可能的价值值。例如,如果 y = 2 ,然后 x = 2 。但是,如果 y = -2 , x = 2 也这个函数没有通过垂直线测试。列出的其他函数是一条直线， 6x - 3y = 11 ，朝右的抛物线的上半部分， $y = \sqrt{x-9} +3$ ，一个立方方程， $y = x^{3} -x +5$ ，和半圆， $y = -\sqrt{x^{2}-16}$ 。这些都能通过垂直线测试。。

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例子问题1:领域和范围

给出下面函数的定义域。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

可能的答案:

$\left \{ x | x\neq -1\right \}$

$\mathbb{R}$

$\left \{ x | x< -1\; or \; x> 1\right \}$

$\left \{x| -1<x<1 \right \}$

$\left \{ x | x\neq 1\right \}$

正确答案:

$\mathbb{R}$

解释:

定义域是可能值的集合变量。我们可以找到不可能的值通过设置分数函数的分母为零，因为这将产生一个不可能的方程。

$\sqrt{x^2+1}=0$

现在我们可以解。

x^2+1=0

x^2=-1

没有真正的价值这将符合这个方程;任何实数的平方都是正数。

激进总是积极的，而且 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ 定义为的所有实值。这使得领域全部实数的集合。

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例子问题1:领域和范围

找到域:

$\frac{3x-2}{x^{2}-2x+1}$

可能的答案:

$(-\infty, \infty )$

$(-\infty, -1 )\bigcup (1, \infty )$

$(-\infty, -1 )\bigcap (1, \infty )$

$(-\infty, 1 )\bigcap (1, \infty )$

$(-\infty, 1 )\bigcup (1, \infty )$

正确答案:

$(-\infty, 1 )\bigcup (1, \infty )$

解释:

要找到定义域，就要找到数轴上定义分数的所有区域。

$x^2-2x+1\neq0$ 因为分数的分母必须是非零的。

因式分解就是求两个和为-2的数并乘以1。这两个数是-1和-1。

$(x-1)(x-1)\neq0$

$x\neq 1$

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例子问题6:领域和范围

如果 y > 0 的哪个值不在这个等式的范围内?

$y = x^2 + \frac{7}{x}$

可能的答案:

$- \sqrt{7}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释:

使用作为输入()的值生成一个输出(的值，与的规定条件相矛盾 y > 0 。

因此是不是一个有效值并且不在等式的范围内:

$y = (-1)^2 + \frac{7}{(-1)} \rightarrow y = 1 - 7 \rightarrow y= -6$

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问题7:领域和范围

函数的值域是什么?

f(x) = x^2 + 5

可能的答案:

$(-\infty, 5)$

$(0,\infty)$

$[5, \infty)$

$(-\infty, \infty)$

$(5, \infty )$

正确答案:

$[5, \infty)$

解释:

这个函数是一条向上移动了5个单位的抛物线。标准抛物线的范围从0(含)到正无穷。如果顶点向上移动了5，这意味着它的最小值向上移动了5。第一项为包容，这意味着你需要一个“[”作为开头。

最低:包括5级，最高:无限级

范围: $[5, \infty)$

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例子问题1:功能和图表

函数的定义域是什么?

$f(x) = \sqrt{x} + x^2 -3x$

可能的答案:

$(0,\infty)$

$(-\infty, \infty)$

[0,100]

$[0,\infty)$

$[-3, \infty)$

正确答案:

$[0,\infty)$

解释:

域表示可接受此函数的值。基于函数的成员，唯一的限制是负数的不允许值(因为是平方根)。平方项和线性项适用于任何数字。不能有任何负数，否则平方根就不是实数。

最小值:包含0，最大值:无穷大

域: $[0,\infty)$

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