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SAT II数学1:用三角法求边

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例子问题

问题1:三角函数

飞机在飞东北方的度数为 100 英里。然后它转身飞了起来东南偏南度为 200 英里。飞机从起点大约有多少英里?(忽略地球的曲率。)

可能的答案:

205

297

139

121

172

正确答案:

139

解释：

飞机飞过三角形的两条边。这两条边的夹角是40度。在边-角-边的情况下，使用余弦定理是合适的。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$c^2 = 100^2 + 200^2 - 2(100)(200) \cos 40^{\circ}$

$c^2 \approx 19358$

$c \approx \sqrt{19358} \approx 139$

问题1:三角函数

在 $\bigtriangleup ABC$ ：

AB = 13

AC = 17

BC = 25

评估 $m \angle A$ 到最接近的程度。

可能的答案:

$112 ^{\circ }$

没有提供足够的资料来回答这个问题。

$68^{\circ }$

$141^{\circ }$

$151^{\circ }$

正确答案:

$112 ^{\circ }$

解释：

所参考的数字如下:

三角形z

根据余弦定理，一个角的度数的关系 $\gamma$ 三角形和三条边的长度，,，与上述角度相对的边长为:

$c^{2} = a ^{2} + b^{2} - 2ab \cos \gamma$

三条边长都是已知的，所以我们要求出 $\gamma$ ．设置

c= BC = 25 ．未知角对边的长度;

a = AB = 13 ；

b = AC = 17 ；

和 $\gamma = \cos A$ ，

我们得到方程

$25^{2} =13^{2} +17^{2} - 2 (13) (17)\cos A$

$625 =169 +289- 442 \cos A$

$625 =458- 442 \cos A$

解 $\cos A$ ：

$625 - 458 =458- 442 \cos A - 458$

$167 = - 442 \cos A$

$\frac{167}{-442} = \frac{- 442 \cos A}{-442}$

$\cos A \approx -0.3778$

求余弦逆函数:

$A = \cos ^{-1} -0.3778 \approx 112 ^{\circ }$ ，

正确的回应。

问题1:三角函数

在 $\bigtriangleup ABC$ ：

AB = 19

AC = 25

$m \angle A = 57^{\circ }$

的长度 $\overline{BC}$ 精确到十分之一单位。

可能的答案:

24.2

27.0

13.7

38.8

21.6

正确答案:

21.6

解释：

所参考的数字如下:

三角形z

根据余弦定理，给定长度和三角形的两条边，以及长度 $\gamma$ 它们的夹角的长度第三边的值可以用公式计算

$c^{2} = a ^{2} + b^{2} - 2ab \cos \gamma$

替换 a = AB = 19 ， b = AC = 25 ， c = BC , $\gamma = m \angle A = 57^{\circ }$ ，然后求值:

$(BC)^{2} = 19 ^{2} + 25 ^{2} - 2 (19)(25)\cos 57^{\circ }$

$(BC)^{2} \approx 361 + 625 - 950 \cdot 0.5446$

$(BC)^{2} \approx 361 + 625 - 517.4$

$(BC)^{2} \approx 468.6$

两边开平方根:

$BC \approx \sqrt{468.6} \approx 21.6$ ．

问题1:三角函数

在 $\bigtriangleup ABC$ ：

$m \angle A = 76 ^{\circ }$

$m \angle B = 65 ^{\circ }$

AB = 34

$\textup{Evaluate}$ $\textup{to the nearest whole unit.}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

所参考的数字如下:

三角形z

正弦定律指出，给定三角形的两个角 $\alpha, \beta$ 和它们长度的对边 a,b 分别

$\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$ ，

或者,同样,

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ ．

在这个公式中，我们设:

b = AC ，所需边长;

$\beta =m \angle B = 65^{\circ }$ ，其对角的大小;

c =AB = 34 ，已知边长;

$\gamma =m \angle C$ ，它的对角的大小，也就是

$m \angle C = 180 ^{\circ } - (m \angle A + m \angle B)$

$= 180 ^{\circ } - ( 76^{\circ } + 65 ^{\circ })$

$= 180 ^{\circ } - 141 ^{\circ }$

$=39 ^{\circ }$

代入正弦定律公式求解：

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

$\frac{b}{\sin 65 ^{\circ }} = \frac{ 34}{\sin 39 ^{\circ }}$

$\frac{b}{\sin 65 ^{\circ }} \cdot \sin 65 ^{\circ } = \frac{ 34}{\sin 39 ^{\circ }} \cdot \sin 65 ^{\circ }$

$b= \frac{ 34}{\sin 39 ^{\circ }} \cdot \sin 65 ^{\circ }$

求正弦值，然后计算

$b\approx \frac{ 34}{0.6293 } \cdot 0.9063$

$b \approx 49$

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