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PSAT数学:复数

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例子问题

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例子问题2:如何乘复数

繁殖:

(10 + 3i)(10-3i)

可能的答案:

其他答案都不正确。

100 + 9i

100 - 9i

109

正确答案:

109

解释：

这是一个复数和它的共轭复数的乘积。它们可以使用模式相乘

$\left (A + Bi \right )\left (A - Bi \right ) = A^{2} + B^{2}$

与 A = 10, B = 3

$(10 + 3i)(10-3i) = 10^{2} +3^{2} = 100 + 9 = 109$

例子问题1:如何乘复数

下面哪个选项等于 $i ^{-56}$ ？

可能的答案:

正确答案:

解释：

$i ^{-56} = \frac{1}{i^{56}}$

$56 \div 4 = 14$ 56是4的倍数。4的任意倍数的幂等于1，所以

$i ^{-56} = \frac{1}{i^{56}} = \frac{1}{1} = 1$ 。

问题4:如何乘复数

下面哪个选项等于 (2i)^7 ？

可能的答案:

-2i

-128i

128i

正确答案:

-128i

解释：

解决这个问题的第一步是分布指数:

2^7i^7 = 128i^7

接下来，我们需要简化复杂部分。

$i^7=i^2\times i^2\times i^2\times i=-1\times -1\times -1\times i=-i$

因此，我们最终的答案是 $128\times (-i)=-128i$ 。

例5:如何乘复数

的8次方是多少？

可能的答案:

-6,561i

24i

其他答案都不正确。

6,561i

-24i

正确答案:

其他答案都不正确。

解释：

$\left (3i \right )^{8}$

$= 3^{8} i^{8}$

$= 6,561 i^{8}$

4的任意倍数的幂都等于1，所以上面的表达式等于

$= 6,561 \cdot 1 = 6,561$

这不在给定的选项中。

例子问题6:如何乘复数

的三次方是多少 $2 + i\sqrt{5}$ ？

可能的答案:

$-22 +7i\sqrt{5}$

38 +35i

$38 +7i\sqrt{5}$

$-22 +17i\sqrt{5}$

-22 +35i

正确答案:

$-22 +7i\sqrt{5}$

解释：

你被要求评估

$\left (2 + i\sqrt{5} \right )^{3}$

你可以用二项式模式的立方 $A = 2, B = i\sqrt{5}$ ：

$\left ( A + B \right )^{3} = A^{3}+ 3A^{2}B + 3AB^{2}+ B^{3}$

$\left ( 2 + i\sqrt{5} \right )^{3} =2^{3}+ 3 \cdot 2^{2} \cdot i\sqrt{5} + 3 \cdot 2 (i\sqrt{5}) ^{2}+ (i\sqrt{5}) ^{3}$

$=8+ 3 \cdot 4 \cdot i\sqrt{5} + 6i ^{2} (\sqrt{5}) ^{2}+ i^{3}(\sqrt{5}) ^{3}$

$=8+12i\sqrt{5} + 6 (-1) 5+(-i)(5\sqrt{5})$

$=8-30 +12i\sqrt{5} -5i\sqrt{5}$

$=-22 +7i\sqrt{5}$

示例问题7:如何乘复数

的四次方是多少 $3 - i\sqrt{2}$ ？

可能的答案:

95-168i

$-23-84 i\sqrt{2}}$

$121-84 i\sqrt{2}}$

-23-168i

$49- 132 i\sqrt{2}$

正确答案:

$-23-84 i\sqrt{2}}$

解释：

$\left (3 - i\sqrt{2} \right )^{4}$ 可以用平方来计算吗 $3 - i\sqrt{2}$ ，然后对结果进行平方，使用二项模式的平方，如下所示:

$\left (3 - i\sqrt{2} \right )^{2}$

$=3^{2}- 2 \cdot 3 \cdot i\sqrt{2} +\left ( i\sqrt{2} \right )^{2}$

$=9- 6 i\sqrt{2} +2i^{2}$

$=9- 6 i\sqrt{2} +2(-1)$

$=7- 6 i\sqrt{2}$

$\left (3 - i\sqrt{2} \right )^{4}$

$=\left [ \left (3 - i\sqrt{2} \right )^{2} \right ]^{2}$

$=\left (7- 6 i\sqrt{2}} \right )^{2}$

$=7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 6 i\sqrt{2}} + \left ( 6 i\sqrt{2}} \right )^{2}$

$=49-84 i\sqrt{2}} + 6^{2} i^{2} \left ( \sqrt{2}} \right )^{2}$

$=49-84 i\sqrt{2}} +36 (-1) (2)$

$=49-84 i\sqrt{2}} -72$

$=-23-84 i\sqrt{2}}$

例8:如何乘复数

乘 32+ 18i 通过它的复共轭。产品是什么?

可能的答案:

700 + 1,152i

700 - 1,152i

1,348

700

1,152

正确答案:

1,348

解释：

任何复数的乘积 a + bi 它的复共轭 a - bi 是实数 $a^{2}+b^{2}$ ，所以这里所需要的就是计算表达式:

$32^{2}+ 18 ^{2}= 1,024+ 324 = 1,348$

问题9:如何乘复数

的8次方是多少 1+ i ？

可能的答案:

8 - 8i

在其他选项中没有给出正确的答案。

256i

8 + 8i

正确答案:

解释：

首先,广场 1+ i 使用二项模式的平方如下:

$\left (1+ i \right )^{2}$

$= 1^{2}+ 2 \cdot 1 \cdot i + i^{2}$

= 1 +2i -1

= 2i

将这个数字的四次方提高会得到正确的答案:

$\left (1+ i \right )^{8}$

$= \left [\left (1+ i \right )^{2} \right ]^{4}$

$= (2i)^{4}$

$= (2 )^{4} \cdot i^{4}$

$=16 \cdot 1 = 16$

例子问题10:如何乘复数

的九次方是多少 -2i ？

可能的答案:

512 i

-18i

18i

-512 i

其他答案都不正确。

正确答案:

-512 i

解释：

$\left ( -2i\right )^{9}$

$= \left ( -2 \right )^{9} \cdot i^{9}$

要使一个负数的奇数次幂，取底的绝对值的奇数次幂，然后给出它的反方:

$\left ( -2\right )^{9} = - \left ( 2^{9}\right ) = -512$

提高取a次方，除以4再取上对其余的。自

$9 \div 4 = 2 \textup{ R }1$ ，

$i^{9} = i^{1}= i$

因此,

$\left ( -2i\right )^{9}= \left ( -2 \right )^{9} \cdot i^{9} = -512 i$

问题11:如何乘复数

简化:

$\small \left ( 3 - 2i \right )\left ( 2 + i\right )$

可能的答案:

$\small 6 - i$

$\small 8 - i$

$\small 6 + 3i$

$\small 6 - 3i$

$\small 8 + i$

正确答案:

$\small 8 - i$

解释：

使用铝箔方法，使第一，外，内，最后相乘。还要记住 $\small i \times i = -1$ ：

$\small \left ( 3 - 2i \right )\left ( 2 + i\right )$

$\small = 3 \times 2 + 3 \times i - 2i \times 2 - 2i \times i$

$\small = 6 +3i -4i + 2$

$\small = 8 - i$

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