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例子问题

例子问题121:矩阵和向量

写出一个向量方程描述经过P点的直线₁(1,4)平行于向量 $\vec{a}$ =(3、4)。

可能的答案:

(x+3,y+4)=t(1,4)

(x-1, y-4)=t(3, 4)

(x-3,y-4)=t(1,4)

(x+1,y+4)=t(3,4)

正确答案:

(x-1, y-4)=t(3, 4)

解释：

首先，画出这个向量 $\vec{a}$ =(3、4);这在下面用红色表示。然后画出点P₁(1,4)，画一条线(用蓝色表示)穿过平行于矢量的线 $\vec{a}$ ．

屏幕截图2020年05月29日上午11点28分09秒

我们必须找到直线的方程．对于任意点P₂(x, y)， $\vec{P1P2}=(x-1,y-4)$ ．自 $\vec{P1P2}$ 是在网上平行于 $\vec{a}$ ， $\vec{P1P2}=t\vec{a}$ t的某个值，通过代换，我们有 (x-1, y-4)=t(3, 4) ．因此,方程向量方程描述的是直线上的所有点(x, y)吗平行于 $\vec{a}$ 通过P₁(1、4)。

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示例问题122:矩阵和向量

对或错:一条穿过P的线₁(x₁y₁)，它与矢量平行 $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 是由点的集合定义的吗 P_2(x,y) 这样 $\vec{P_1P_2}=t\vec{a}$ 对于某个实数t，因此， (x-x_1, y-y_1)=t(a_1,a_2) ．

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

这是正确的。独立的变量在这个方程中称为参数。

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示例问题123:矩阵和向量

求一条平行于 $\vec{a}=(3,2)$ 穿过点(0,5)

可能的答案:

x = 3 t

Y = 5 + 2t

x = 3

Y = 2 + 5t

X = 3 + 2t

y = 5 t

x = 5 t

Y = 3 + 2t

正确答案:

x = 3 t

Y = 5 + 2t

解释：

通过点(x)的直线₁y₁)，它与矢量平行 $\vec a$ = (₁,一个₂)有如下参数方程，其中t是任意实数。

x=x_1 + ta_1

y=y_1 + ta_2

使用给定的向量和点，我们得到以下结果:

x = 3 t

Y = 5 + 2t

t的每个值都创建了一个不同的(x, y)有序对。你可以把这些点看作是物体的位置，把t看作是以秒为单位的时间。对参数方程求值为t时，我们得到t秒后物体位置的坐标。

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示例问题124:矩阵和向量

求一条平行于 $\vec{a}=(-7,3.5)$ 穿过点(4，-3)

可能的答案:

X = 4 - 7t

Y = -3 + 3.5t

X = -3 + 3.5t

Y = 4 - 7t

X = -3 - 3.5t

Y = 4 + 7t

X = -7 + 4t

Y = 3.5 - 3t

正确答案:

X = 4 - 7t

Y = -3 + 3.5t

解释：

通过点(x)的直线₁y₁)，它与矢量平行 $\vec a$ = (₁,一个₂)有如下参数方程，其中t是任意实数。

x=x_1 + ta_1

y=y_1 + ta_2

使用给定的向量和点，我们得到以下结果:

X = 4 - 7t

Y = -3 + 3.5t

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示例问题125:矩阵和向量

写出直线y = -3x +1.5的参数方程

可能的答案:

X = -3t +1.5

Y = -3t +1.5

x = t

Y = 1.5t - 3

X = -3t +1.5

y = t

x = t

Y = -3t +1.5

正确答案:

x = t

Y = -3t +1.5

解释：

在方程y = -3x +1.5中，x是自变量，y是因变量。在参数方程中，t是自变量，x和y都是因变量。

首先设自变量x和t相等，然后可以用t写出两个参数方程:

x = t

Y = -3t +1.5

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示例问题126:矩阵和向量

写出直线y = 5x - 3的参数方程。

可能的答案:

x = t

Y = 5t - 3

X = 5t - 3

y = t

X = 5t - 3

Y = 5t - 3

x = t

y = t

正确答案:

x = t

Y = 5t - 3

解释：

在方程y = 5x - 3中，x是自变量，y是因变量。在参数方程中，t是自变量，x和y都是因变量。

首先设自变量x和t相等，然后可以用t写出两个参数方程:

x = t

Y = 5t - 3

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示例问题127:矩阵和向量

用给定的参数方程写出直线的斜截式方程:

x = -4t+7

y=t-12

可能的答案:

y=t-12

y=-4t-84

$y=\frac{-x+55}{4}$

$y=\frac{-x+7}{4}$

正确答案:

$y=\frac{-x+55}{4}$

解释：

首先求解t的每个参数方程:

x = -4t+7

x-7=-4t

$\frac{-x+7}{4}=t$

y=t-12

y-12=t

接下来，写出一个包含t表达式的方程;因为它们都等于t，我们可以令它们彼此相等:

$\frac{-x+7}{4}=y-12$

两边同时乘以LCD, 4:

-x+7=4y-48

使y单独表示为斜率-截距方程(y = mx + b)形式:

4y = -x+55

$y=\frac{-x+55}{4}$

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例子问题128:矩阵和向量

用给定的参数方程写出直线的斜截式方程:

x = 3t-5

y=-2t+7

可能的答案:

$y=\frac{-2x+11}{3}$

y=3x-5

$y=\frac{x+5}{3}$

y=-2x+7

正确答案:

$y=\frac{-2x+11}{3}$

解释：

首先求解t的每个参数方程:

x = 3t-5

x+5=3t

$\frac{x+5}{3}=t$

y=-2t+7

y-7=-2t

$\frac{-y+7}{2}=t$

接下来，写出一个包含t表达式的方程;因为它们都等于t，我们可以令它们彼此相等:

$\frac{x+5}{3}=\frac{-y+7}{2}$

两边乘以LCD, 6:

2(x+5)=3(-y+7)

2x+10=-3y+21

使y单独表示为斜率-截距方程(y = mx + b)形式:

-3y = 2x - 11

$y=\frac{-2x+11}{3}$

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问题129:矩阵和向量

足球运动员以40英尺/秒的初速度以29度的角度踢球^o水平。0.5秒后，球水平和垂直移动了多远?

可能的答案:

x=21.4

y=9.1

x=15.5

y=6.8

x=18.8

y=7.9

x=17.5

y=5.7

正确答案:

x=17.5

y=5.7

解释：

要解决这个问题，我们需要知道抛物的路径可以用以下方程描述:

$x=t\left | \vec{v} \right |\cos(\theta)$

$y=t\left | \vec{v} \right |\sin(\theta) +\frac{1}{2}gt^2$

在这些方程中，t是时间，g是重力加速度。

首先，你需要把球的位置写成一对参数方程，它们定义了球在t时刻的路径，单位是秒:

$x=t\left | \vec{v} \right |\cos(\theta)$

$x=t(40)\cos(29\degree)$

$x=40t\cos(29\degree)$

当你建立y的方程时，使用g = -32的值。

$y=t\left | \vec{v} \right |\sin(\theta) +\frac{1}{2}gt^2$

$y=t(40)\sin(29\degree)+\frac{1}{2}(-32)t^2$

$y=40t\sin(29\degree)-16t^2$

最后求t = .05时的x和y:

$x=40(0.5)\cos(29\degree)$

$y=40(0.5)\sin(29\degree)-16(0.5)^2$

使用计算器求解，确保你在度数模式下:

x=17.5

y=5.7

这意味着0.5秒后，球的水平方向和垂直方向分别移动了17.5英尺和5.7英尺。

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例子问题1:参数方程

投手投出快速球，击球手挥棒接住球。如果球的初速度是150f /s，角度是20^o关于水平方向，用什么参数方程来模拟球的运动?当球水平移动400英尺时，它的高度是多少?

可能的答案:

$x=150t\cos(20\degree)$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

当球飞行400英尺时，它的高度是离地面16.65英尺

$x=150t\cos(20\degree)$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

当球飞行400英尺时，它的高度是离地面14.38英尺

$x=150t\cos(20\degree)$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

当球飞行400英尺时，它的高度是离地面15.52英尺

$x=150t\cos(20\degree)$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

当球飞行400英尺时，它的高度是离地面21.59英尺

正确答案:

$x=150t\cos(20\degree)$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

当球飞行400英尺时，它的高度是离地面16.65英尺

解释：

要解决这个问题，我们需要知道抛物的路径可以用以下方程描述:

$x=t\left | \vec{v} \right |\cos(\theta)$

$y=t\left | \vec{v} \right |\sin(\theta) +\frac{1}{2}gt^2$

在这些方程中，t是时间，g是重力加速度。

首先，你需要把球的位置写成一对参数方程，它们定义了球在t时刻的路径，单位是秒:

$x=t\left | \vec{v} \right |\cos(\theta)$

$x=t(150)\cos(20\degree)$

$x=150t\cos(20\degree)$

当你建立y的方程时，使用g = -32的值。

$y=t\left | \vec{v} \right |\sin(\theta) +\frac{1}{2}gt^2$

$y=t(150)\sin(20\degree)+\frac{1}{2}(-32)t^2$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

最后求t = .05时的x和y:

$x=150t\cos(20\degree)$

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2$

为了求出球水平运动时的高度，将x代入400英尺(水平距离)。

$400=150t\cos(20\degree)$

$t = \frac{400}{150\cos(20\degree)}=2.84$

这告诉我们，当2.84秒过去时，球水平移动了400英尺。让我们用t = 2.84的值，把它代入y的方程，看看此时球有多高:

$y=150t\sin(20\degree)-16t^2=150(2.84)\sin(20\degree)-16(2.84)^2=16.65$

这意味着，当球水平飞行400英尺时，2.84秒过去了，球离地面16.65英尺。

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