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微积分预备课:求复数的商

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例子问题

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例子问题1:求复数的商

让 $a=(1+i)^{n}$ ， b=(1-i)^n ．找到一种简单的形式 $\frac{a}{b}$ ．

可能的答案:

$-i^{n+1}$

$i^{n}$

$4i^{n+1}$

$2i^{n+1}$

$-i^{n}$

正确答案:

$i^{n}$

解释：

我们首先指出:

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i} \frac{1+i}{1+i}$ $=\frac{(1+i)^2}{2}$

我们知道:

(1+i)^2=1+2i-i^2=2i ．

这意味着:

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i$

$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=i^{n}$

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例子问题2:求复数的商

是什么 $\frac{(i^2)}{1-i}$ 吗?

可能的答案:

-2i

i^2

$-1+\frac{1}{1-i}$

$1+\frac{i}{i^2}$

正确答案:

$-1+\frac{1}{1-i}$

解释：

自 i^=-1 ，

问题就变成了,

$\frac{-1}{1-i}$

$=-1+\frac{1}{1-i}$

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示例问题3:求复数的商

写

$\small \frac{1+2i}{1+i}$

在表单中 $\small a+bi$ 对于一些实数 $\small a$ 而且 $\small b$ ．

可能的答案:

$\small 1+2i$

$\small \frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$

$\small \small \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$

$\small \small \frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$

正确答案:

$\small \frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$

解释：

正确答案是

$\small \frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$

用简单的代数将表达式乘以分母的复共轭，我们得到:

$\small \small \frac{1+2i}{1+i}=\frac{1+2i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}= (1-i)\frac{1+2i}{2}$

$\small =\frac{1-i+2i-2i^2}{2}=\frac{1+i-(-2)}{2}=\frac{3+i}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$

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示例问题4:求复数的商

分:

$\frac{4+5i}{5-i}$

可能的答案:

$\frac{15}{26}+\frac{29i}{26}$

$\frac{5}{8}+\frac{29i}{24}$

$\frac{29}{26}+\frac{15i}{26}$

$\frac{15}{26}-\frac{29i}{26}$

正确答案:

$\frac{15}{26}+\frac{29i}{26}$

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 5+i ．

$\left(\frac{4+5i}{5-i}\right)\left(\frac{5+i}{5+i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{4+5i}{5-i}\right)\left(\frac{5+i}{5+i}\right)=\frac{20+29i+5i^2}{25-i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{20+29i+5(-1)}{25-(-1)}=\frac{15+29i}{26}=\frac{15}{26}+\frac{29i}{26}$

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示例问题5:求复数的商

分:

$\frac{7+i}{2-i}$

可能的答案:

$\frac{13}{5}+\frac{9i}{5}$

$\frac{13}{5}-\frac{9i}{5}$

$\frac{15}{2}+3i$

$\frac{5}{13}+\frac{5}{9i}$

正确答案:

$\frac{13}{5}+\frac{9i}{5}$

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 2+i ．

$\left(\frac{7+i}{2-i}\right)\left(\frac{2+i}{2+i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{7+i}{2-i}\right)\left(\frac{2+i}{2+i}\right)=\frac{14+9i+i^2}{4-i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{14+9i+i^2}{4-i^2}=\frac{14+9i+(-1)}{4-(-1)}=\frac{13+9i}{5}=\frac{13}{5}+\frac{9i}{5}$

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示例问题6:求复数的商

鸿沟。

$\frac{2-9i}{3+i}$

可能的答案:

$-\frac{3}{10}-\frac{29i}{10}$

$\frac{3}{4}+\frac{29i}{4}$

$-\frac{10}{3}-\frac{10}{29i}$

$\frac{3}{10}+\frac{29i}{10}$

正确答案:

$-\frac{3}{10}-\frac{29i}{10}$

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 3-i ．

$\left(\frac{2-9i}{3+i}\right)\left(\frac{3-i}{3-i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{2-9i}{3+i}\right)\left(\frac{3-i}{3-i}\right)=\frac{6-29i+9i^2}{9-i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{6-29i+9i^2}{9-i^2}=\frac{6-29i+9(-1)}{9-(-1)}=\frac{-3-29i}{10}=-\frac{3}{10}-\frac{29i}{10}$

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示例问题7:求复数的商

鸿沟。

$\frac{4+3i}{6-i}$

可能的答案:

$\frac{2}{3}+\frac{i}{9}$

$\frac{7}{9}-\frac{22i}{27}$

$\frac{9}{7}+\frac{27}{22i}$

$\frac{21}{37}+\frac{22i}{37}$

正确答案:

$\frac{21}{37}+\frac{22i}{37}$

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 6+i ．

$\left(\frac{4+3i}{6-i}\right)\left(\frac{6+i}{6+i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{4+3i}{6-i}\right)\left(\frac{6+i}{6+i}\right)=\frac{24+22i+3i^2}{36-i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{24+22i+3i^2}{36-i^2}=\frac{24+22i+3(-1)}{36-(-1)}=\frac{21+22i}{37}$

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示例问题8:求复数的商

鸿沟。

$\frac{5-2i}{3-8i}$

可能的答案:

$\frac{21}{29}+\frac{6i}{29}$

$\frac{31}{73}+\frac{34i}{73}$

$\frac{73}{31}-\frac{73}{64i}$

$\frac{31}{73}-\frac{34i}{73}$

正确答案:

$\frac{31}{73}+\frac{34i}{73}$

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 3+8i ．

$\left(\frac{5-2i}{3-8i}\right)\left(\frac{3+8i}{3+8i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{5-2i}{3-8i}\right)\left(\frac{3+8i}{3+8i}\right)=\frac{15+34i-16i^2}{9-64i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{15+34i-16i^2}{9-64i^2}=\frac{15+34i-16(-1)}{9-64(-1)}=\frac{31+34i}{73}=\frac{31}{73}+\frac{34i}{73}$

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示例问题9:求复数的商

鸿沟。

$\frac{5+i}{3+i}$

可能的答案:

$\frac{5}{8}+\frac{i}{5}$

$\frac{3}{8}-\frac{i}{4}$

$\frac{8}{5}+\frac{i}{5}$

$\frac{8}{5}-\frac{i}{5}$

正确答案:

$\frac{8}{5}-\frac{i}{5}$

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 3-i ．

$\left(\frac{5+i}{3+i}\right)\left(\frac{3-i}{3-i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{5+i}{3+i}\right)\left(\frac{3-i}{3-i}\right)=\frac{15-2i-i^2}{9-i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{15-2i-i^2}{9-i^2}=\frac{15-2i-(-1)}{9-(-1)}=\frac{16-2i}{10}=\frac{8}{5}-\frac{i}{5}$

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示例问题10:求复数的商

鸿沟。

$\frac{-9+i}{1-i}$

可能的答案:

-2+3i

-4-5i

-5-4i

5+4i

正确答案:

-5-4i

解释：

要除复数，分子和分母同时乘以分母的共轭。

要求共轭，只要改变分母上的符号。所使用的共轭将是 1-i ．

$\left(\frac{-9+i}{1-i}\right)\left(\frac{1+i}{1+i}\right)$

现在，分配和化简。

$\left(\frac{-9+i}{1-i}\right)\left(\frac{1+i}{1+i}\right)=\frac{-9-8i+i^2}{1-i^2}$

回想一下, i^2=-1

$\frac{-9-8i+i^2}{1-i^2}=\frac{-9-8i+(-1)}{1-(-1)}=\frac{-10-8i}{2}=-5-4i$

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