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例子问题

例子问题1:解一个二次方程组

下列哪个选项不可能是一个二次方程和线性方程组的解的可能个数?

可能的答案:

这两个图相交多少次

正确答案:

解释：

回想一下，方程组的解是由图的交点给出的。因此，这个问题实际上是在问一条抛物线和一条直线可以相交几次。想象一条抛物线和一条直线。为了达到这个目的，我们设抛物线是朝上的。如果在顶点下方水平画一条线，那么它就不会与抛物线相交，因此系统将没有解。如果这条线与抛物线相切，或者只是略过抛物线的边，那么它只会相交一次方程组只有一个解。如果直线穿过抛物线，那么它会相交两次。对于直线和抛物线的方向没有其他选择。因此，不可能有三个解。

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问题61:功能和图表

求出交点坐标，如有可能: y=x^2+4 而且 y=-x^2+4 ．

可能的答案:

$(0,\pm4)$

(4,0)

$\textup{There is no intersection.}$

(0,4)

(-4,0)

正确答案:

(0,4)

解释：

为了解出x和y，让两个方程相互相等，然后解出x。

-x^2+4=x^2+4

2x^2 =0

x=0

替代 x=0 成抛物线。

y=0^2+4 = 4

交点坐标是 (0,4) ．

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示例问题4:都

求两条抛物线的交点: y=2x^2+3x+4 ， y=-4x^2+4

可能的答案:

$\left(-\frac{1}{2},3\right)$

$(0,4) \textup{ and }\left(-\frac{1}{2},3\right)$

$(0,4) \textup{ and }\left(\frac{1}{2},3\right)$

(0,4)

$\left(\frac{1}{2},3\right)$

正确答案:

$(0,4) \textup{ and }\left(-\frac{1}{2},3\right)$

解释：

令两条抛物线相等，解出x。

2x^2+3x+4=-4x^2+4

6x^2+3x=0

3x(2x+1)=0

$x=0,-\frac{1}{2}$

代入两个值取任意一个抛物线，然后确定．

y=-4(0)^2+4= 4

$y=-4\left(-\frac{1}{2}\right)^2+4= -4\left(\frac{1}{4}\right)+4= -1+4=3$

交点坐标为:

(0,4) 而且 $\left(-\frac{1}{2},3\right)$

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示例问题5:都

找出交点:

y = x^2 + 40x - 6 ； y = -x^2 + 19 x + 5

可能的答案:

(-11, -567); (0.5, 9.05)

(-11, -325); (0.5, 14.25)

(-0.5, -25.75) ; (-11, -325)

(11, 555) ; (0.5 , 14.25)

(-11, -567) ; (-0.5, -25.75)

正确答案:

(-11, -325); (0.5, 14.25)

解释：

为了求解，使两个方程相等:

x^2 + 40x - 6 = -x^2 + 19x + 5

要用二次方程来求解，可以通过从右边到左边加减所有三个项来组合类似的项:

x^2 + x^2 +40x - 19x - 6 - 5 = 0

这简化了

2x^2 + 21 x - 11 = 0

用因式分解或二次公式求解而且 0.5 ．

将它们代入原始方程，得到:

(-11)^2 + 40(-11 ) - 6 = 121 - 440 - 6 = -325

(0.5) ^ 2 + 40 (0.5) - 6 = 14.25

坐标对是 (-11, -325) 而且 (0.5, 14.25 ) ．

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例子问题2:解一个二次方程组

给出满足方程组的坐标对。

$\begin{matrix} y = 5x^2 - 10x + 6 \\ y = 2x^2 + 9 x + 20 \end{matrix}$

可能的答案:

$\left( -\frac{ 2}{3 } , 14. \overline{8}\right); (7 , 181)$

$\left(- \frac{ 2}{3} , 14. \overline{8 }\right) ; (-7, 321)$

$(7, 181); \left(\frac{ 2}{3} , 1. \overline{5}\right)$

$(-7, 321) ; \left(\frac{2}{3} , 12. \overline{8}\right)$

$\left(- \frac{ 2}{3} , 14.\overline{8}\right); (-7, 41)$

正确答案:

$\left( -\frac{ 2}{3 } , 14. \overline{8}\right); (7 , 181)$

解释：

为了求解，让两个二次方程相等，然后像项一样合并:

5 x ^ 2 - 10 x + 6 = 2x ^2 + 9x + 20 从两边减去右边的所有项，合并成相同的项。

5x^2 - 2x^2 - 10x - 9 x +6 - 20 = 0

3x^2 - 19x - 14=0

用因式分解或用二次公式求出了解 $-\frac{2}{3}$ 而且．

为了求出y坐标，将它们代入任意一个方程:

$5\left( -\frac{ 2}{3} \right)^2 -10 \left(-\frac{ 2}{3}\right) + 6 = 14.\overline{8}$

2(7)^2 + 9(7) + 20 = 181

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示例问题3:解一个二次方程组

给，满足两个方程的坐标对。

$\begin{matrix} y = x^2 - 7x - 10 \\ y +2x^2 + 18x = 10 \end{matrix}$

可能的答案:

$(5, -130) ; \left(\frac{3}{4} , -14.7\right)$

$(-5, 50 ) ; \left(\frac{ 4}{3} , -17.\overline{5}\right)$

$\left(\frac{ 3}{4} , -14.7\right); (-5, 50)$

$\left(- \frac{ 4}{3}, 1.\overline{1}\right) ; (5, -20)$

$(5, -20) ; \left(\frac{ 4}{3} , -17.\overline{5}\right)$

正确答案:

$(-5, 50 ) ; \left(\frac{ 4}{3} , -17.\overline{5}\right)$

解释：

为了解决这个问题，首先重写第二个方程，使y在左边是孤立的:

y = -2x ^ 2 - 18 x + 10

现在让这两个二次方程相等:

x^ 2 - 7 x - 10 = -2x^2 - 18x + 10 把右边所有的项加/减，这是一个等于零的二次方程。

x^2 + 2x^2 - 7x + 18 x -10 -10 = 0 合并同类项。

3x^2 + 11x -20 = 0

利用二次公式或因式分解，我们得到两个解而且 $\frac{ 4}{3}$ ．

为了得到y坐标，将这些数字代入任意一个函数:

y = (-5)^2 - 7 (-5) - 10 = 25+35 - 10 = 50

$y = \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 7\left(\frac{ 4}{3} \right) - 10 = \frac {16}{9} - \frac{84}{9} - \frac{90}{9} = \frac{-158}{9 } = -17.\overline{5}$

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示例问题4:解一个二次方程组

找出满足两个多项式的坐标对:

$\begin{matrix} y = 4x^3 + 3x^2 -10x - 5 \\ y = 4x^3 + 2x^2 -8x + 10 \end{matrix}$

可能的答案:

(-5, -400) ; (-3, -56)

(-3, -56); (5, 520)

(3, 100) ; (-5, -400)

(3, 112) ; (-5, -380)

(3, 112) ; (5, 520 )

正确答案:

(-3, -56); (5, 520)

解释：

为了求解，将两个多项式设为相等:

4x^3 + 3x^2 -10x - 5 = 4x^3 + 2x^2 -8x + 10 把右边的项从两边加/减。

4x^3 - 4x^3 + 3x^2 - 2x^2 -10x + 8 x - 5 -10 = 0 合并同类项。

x^2 -2x -15 = 0

用二次公式或因式分解得到5和-3的解。

为了得到y坐标，将这些数字代入原方程:

4(5)^3 +3(5)^2 -10(5) - 5 = 500 + 75 - 50 - 5 = 520

4(-3)^3 + 2(-3) ^ 2 - 8 (-3 ) + 10 = -108 + 18 + 24 + 10 = -56

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