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微积分预科:二次曲线的极坐标方程

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例子问题

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问题1:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出圆锥截面:

$r=\frac{2}{1-2\sin(\theta)}$

可能的答案:

抛物线

双曲线

椭圆

正确答案:

双曲线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

现在，对于给定的二次曲线， e>1 所以它一定是一条双曲线。

问题1:用给定的极坐标方程确定二次曲线

给定极坐标方程，求出圆锥截面:

$r=\frac{6}{1-\frac{1}{2}\sin(\theta)}$

可能的答案:

双曲线

椭圆

抛物线

正确答案:

椭圆

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

现在，对于给定的二次曲线， 0<e<1 所以它一定是一个椭圆。

问题3:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，确定圆锥截面:

$r=\frac{8}{4-\sin\theta}$

可能的答案:

抛物线

椭圆

双曲线

正确答案:

椭圆

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{8}{4-\sin\theta}=\frac{2}{1-\frac{1}{4}\sin\theta}$

现在，对于给定的二次曲线， 0<e<1 所以它一定是一个椭圆。

问题4:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出圆锥截面:

$r=\frac{6}{6-6\cos\theta}$

可能的答案:

椭圆

双曲线

抛物线

正确答案:

抛物线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{6}{6-6\cos\theta}=\frac{1}{1-\cos\theta}$

现在，对于给定的二次曲线， e=1 所以它一定是一条抛物线。

问题5:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出圆锥截面:

$r=\frac{12}{4-8\sin\theta}$

可能的答案:

双曲线

抛物线

椭圆

正确答案:

双曲线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{12}{4-8\sin\theta}=\frac{3}{1-2\sin\theta}$

现在，对于给定的二次曲线， e>1 所以它一定是一条双曲线。

问题6:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出圆锥曲线的截面。

$r=\frac{2}{1+\sin(\theta+\frac{\pi}{4})}$

可能的答案:

椭圆

抛物线

双曲线

正确答案:

抛物线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

现在，对于给定的二次曲线， e=1 所以它一定是一条抛物线。

问题7:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出二次曲线:

$r=\frac{6}{2+3\sin(\theta+\pi)}$

可能的答案:

抛物线

双曲线

椭圆

正确答案:

双曲线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{6}{2+3\sin(\theta+\pi)}=\frac{3}{1+\frac{3}{2}\sin(\theta+\pi)}$

现在，对于给定的二次曲线， e>1 所以它一定是一条双曲线。

问题1:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出二次曲线:

$r=\frac{10}{2+5\cos\theta}$

可能的答案:

双曲线

抛物线

椭圆

正确答案:

双曲线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{10}{2+5\cos\theta}=\frac{5}{1+\frac{5}{2}\cos\theta}$

现在，对于给定的二次曲线， e>1 所以它一定是一条双曲线。

问题9:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出圆锥曲线的截面。

$r=\frac{36}{9+6\cos\theta}$

可能的答案:

双曲线

抛物线

椭圆

正确答案:

椭圆

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{36}{9+6\cos\theta}=\frac{4}{1+\frac{2}{3}\cos\theta}$

现在，对于给定的二次曲线， 0<e<1 所以它一定是一个椭圆。

问题10:二次曲线的极坐标方程

给定极坐标方程，求出圆锥曲线的截面。

$r=\frac{12}{6-6\cos\theta}$

可能的答案:

双曲线

抛物线

椭圆

正确答案:

抛物线

解释：

回忆一下，二次曲线的极坐标方程可以有以下形式:

$r=\frac{ed}{1\pm e \cos(\theta)}$

$r=\frac{ed}{1\pm e \sin(\theta)}$ ,在那里为圆锥截面的偏心率。

要确定极坐标图所描绘的是什么圆锥截面，只需看圆锥截面的偏心率。

0<e<1 会得到一个椭圆。

e=1 会得到一条抛物线。

e>1 会得到一个双曲线。

首先，将给定的极坐标方程化为上面所见的一种形式，将所有项除以．

$r=\frac{12}{6-6\cos\theta}=\frac{2}{1-\cos\theta}$

现在，对于给定的二次曲线， e=1 所以它一定是一条抛物线。

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