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微积分预备:双曲线和椭圆

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例子问题

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例子问题1:双曲线和椭圆

考虑下面的等式:

9x^2 - 18x + 100y^2 + 600y = -9

把方程画图时按其形式分类。

可能的答案:

圆心的椭圆 (1, -3)

圆点为的双曲线 (10, 3) 而且 (-10, -3)

圆点为的双曲线 (3, -1) 而且 (1, 3)

圆心的椭圆 (10, 3)

圆心在 (3, -1)

正确答案:

圆心的椭圆 (1, -3)

解释：

从方程开始

9x^2 - 18x + 100y^2 + 600y = -9

如果我们对x和y多项式都“完成平方”将会很有帮助。

通过9和900的相加我们把方程转化成

然后除以900，我们看到结果是:

$\frac{(x-1)^2}{100} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1$

椭圆的标准方程是

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

中心在 (h, k)

因此这是一个有中心的椭圆方程 (1, -3)

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例子问题1:理解双曲线和椭圆的特征

将椭圆用标准形式表示如下方程:

4(x-4)^2+9(x-7)^2=36

可能的答案:

(x-4)^2+(y-7)^2=1

$\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-7)^2}{4}=1$

$\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-7)^2}{4}=36$

$\frac{4(x-4)^2}{36}+\frac{9(y-7)^2}{36}=36$

4(x-4)^2+9(y-7)^2=1

正确答案:

$\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-7)^2}{4}=1$

解释：

记住，椭圆的标准形式方程是这样的:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

其中点(h,k)给出了椭圆的中心，a是它在x方向上的轴长度的一半，b是它在y方向上的轴长度的一半。我们可以看到，这种形式的方程右边有一个1，所以我们先把方程两边同时除以36，得到右边的1:

4(x-4)^2+9(x-7)^2=36

$\frac{4(x-4)^2+9(x-7)^2}{36}=\frac{36}{36}$

$\frac{4(x-4)^2}{36}+\frac{9(x-7)^2}{36}=1$

现在我们可以化简方程右边的分数，这就得到了椭圆的标准形式的方程:

$\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-7)^2}{4}=1$

这个椭圆的中心在(4,7)x方向上是6单位宽，y方向上是4单位宽，因为 a^2=9 所以 a=3 , b^2=4 所以 b=2 ．

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例子问题1:理解双曲线和椭圆的特征

下列哪个是椭圆的标准形式的方程?

可能的答案:

$\frac{(y-3)^2}{4}+\frac{(x+5)^2}{16}=1$

$\frac{(x+3)^2}{16}-\frac{(y+4)^2}{25}=1$

(y+2)^2+(x-4)^2=81

$\frac{(y-9)^2}{25}-\frac{(x-10)^2}{9}=1$

$\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$

正确答案:

$\frac{(y-3)^2}{4}+\frac{(x+5)^2}{16}=1$

解释：

记住，为了使椭圆方程以标准形式表示，它必须以以下两种方式之一表示:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$\frac{(y-k)^2}{a^2}+\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

其中点(h,k)给出了椭圆的中心，a是它作为分母的轴长度的一半，b是它作为分母的轴长度的一半。看看我们的选项，我们需要一个包含加法的选项，在x和y项下有不同的分母，并且在方程右边等于1。我们可以看到，在所有的答案选项中，以下是唯一一个满足标准形式要求的答案:

$\frac{(y-3)^2}{4}+\frac{(x+5)^2}{16}=1$

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问题4:双曲线和椭圆

标准形式的椭圆与点的方程是什么 (3,6) 它的中心是an轴长度 18cm ，以及轴长度 10cm ．

可能的答案:

$\frac{(x-3)^{2}}{18}+\frac{(y-6)^{2}}{10}=1$

$\frac{(x-3)^{2}}{25}+\frac{(y-6)^{2}}{81}=1$

$\frac{(x-6)^{2}}{81}+\frac{(y-3)^{2}}{25}=1$

$\frac{(x-3)^{2}}{81}+\frac{(y-6)^{2}}{25}=1$

$\frac{(x-3)^{2}}{10}+\frac{(y-6)^{2}}{18}=1$

正确答案:

$\frac{(x-3)^{2}}{81}+\frac{(y-6)^{2}}{25}=1$

解释：

椭圆的标准形式方程为

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ ，

在哪里 (h,k) 是中心点，它的轴的一半长度在方向,轴的一半长度在方向。

在这个例子中，就是中心点 (h,k)= (3,6) ， $a=\frac{1}2{(18)}=9$ , $b=\frac{1}{2}(10)=5$ ．因此:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

$\frac{(x-3)^{2}}{9^{2}}+\frac{(y-6)^{2}}{5^{2}}=1$

$\frac{(x-3)^{2}}{81}+\frac{(y-6)^{2}}{25}=1$

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例5:双曲线和椭圆

半径为的圆的方程是什么和中心 (0, 0) ?

可能的答案:

x^2 + y^2 = 144

x^2 + y = 12

(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 144

(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 12

5x^2 + 4x + 2 = 10

正确答案:

x^2 + y^2 = 144

解释：

回想一下圆的一般方程是:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ．

这里的关键特征是而且项的平方。

因此，我们可以在没有这个功能的情况下缩小选择范围。

接下来，考虑中心。因为中心在这里 (0,0) 我们不应该有任何中间项。

唯一符合描述的选择是 x^2 + y^2 = 144 ．

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例子问题1:椭圆

写出有中心椭圆的方程 (1, 4) ,焦点 $(1 \pm \sqrt{14}, 4)$ 长轴长度为14。

可能的答案:

$\frac{(x+1)^2}{49 } + \frac{(y+4)^2}{35 } =1$

$\frac{(x-4)^2 }{25 } + \frac{(y-1)^2 }{ 49} = 1$

$\frac{(x-1)^2 }{ 49 } + \frac{(y-4)^2 }{35 } = 1$

$\frac{(x-1)^2 }{ 35 } + \frac{(y-4)^2 }{49 } = 1$

$\frac{(x-1)^2 }{ 196} + \frac{(y-4)^2 }{ 182} = 1$

正确答案:

$\frac{(x-1)^2 }{ 49 } + \frac{(y-4)^2 }{35 } = 1$

解释：

椭圆的一般方程是 $\frac{(x-h)^2 }{a^2 } + \frac{(y-k)^2 }{b^2 } = 1$ 如果我们认为a是长轴长度的一半，那么a和b可能会根据长轴是水平的还是垂直的而互换。这个通式有 (h,k) 以a为圆心，长轴的一半长度为a，短轴的一半长度为b。

因为椭圆的中心在 (1, 4) 焦点在 $(1 \pm \sqrt{14} , 4 )$ ，可见病灶为 $\sqrt{14}$ 远离中心，它们在水平轴上。这意味着横轴是长轴，长度为14。长度是14意味着1 / 2是7，所以 a = 7 ．因为焦点是 $\sqrt{14}$ 远离中心，我们知道 $c = \sqrt{14}$ ．我们可以用这个方程解出b a^2 - c^2 = b^2 ：

$7^2 - \sqrt{14}^2 = b^2$

49 - 14 = b^2

35 = b^2 这就是我们需要解的距离。

将所有这些信息代入方程得到:

$\frac{(x-1)^2 }{ 49} + \frac{(y - 4)^2 }{35 } = 1$

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例子问题6:双曲线和椭圆

求以原点为中心的椭圆方程，如果长轴与x轴平行，长度为单位和次轴的长度为单位。

可能的答案:

$\small \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$

$\small \small \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{64}=1$

$\small \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

$\small \small \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$

正确答案:

$\small \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

解释：

以点为中心的椭圆的公式 (h, k) 用水平主轴(即:平行于x轴)有公式

$\small \frac{(x-h)^2}{[\frac{a}{2}]^2}+\frac{(y-k)^2}{[\frac{b}{2}]^2}=1$

在哪里 $\small a$ 而且 $\small b$ 分别是长轴和小轴的长度。

因为原点在 $\small (0,0)$ 而且 $\small a=8$ 而且 $\small b=4$ 在这个问题中，方程是

$\small \frac{(x-0)^2}{[\frac{8}{2}]^2}+\frac{(y-0)^2}{[\frac{4}{2}]^2}=1$

或

$\small \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

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示例问题7:双曲线和椭圆

椭圆方程，,是 $\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{(y-7)^2}{36}=1$ ．下面哪个选项是这个椭圆的中心和焦点?

可能的答案:

中心= (-3,7) 疫源地= (-3,2) 而且 (-3,12)

中心= (3,-7) 疫源地= (-2,7) 而且 (8,7)

中心= (-3,7) 疫源地= (-8,7) 而且 (2,7)

中心= (3,-7) 疫源地= (3,-2) 而且

中心= (3,6) 疫源地= (3,1) 而且 (3,11)

正确答案:

中心= (-3,7) 疫源地= (-3,2) 而且 (-3,12)

解释：

因为我们的方程已经是这样的形式了

$\frac{(x-h)^2}{w^2}+\frac{(y-k)^2}{v^2}=1$ ，

我们不需要改变方程。这种形式的椭圆的中心总是．在这种情况下，中心是 (-3,7) ．为了求出椭圆的焦点，我们必须用这个方程 b^2+c^2=a^2 ,在那里 a^2 是方程中两个分母中较大的一个( w^2 而且 v^2 ), b^2 是较小的是从中心到焦点的距离。

我们知道 a^2=36 而且 b^2=9 ．

通过使用 a^2-b^2=c^2 我们可以看到 c^2=25 ,所以 c=5 ．

我们现在知道两个焦点是单位:沿大轴中心任意方向的单位

因为更大的分母是包含的项，我们的椭圆的大轴将是垂直的，而不是水平的。因此，我们的焦点将是中心上下各有单位，在 (-3,2) 而且 (-3,12) ．

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例子问题1:理解双曲线和椭圆的特征

用下面的公式求椭圆的中心:

$\frac{(x-1)^2}{36}+\frac{(y+2)^2}{9}=1$

可能的答案:

(-6, -3)

(1, -2)

(-1, 2)

(6, 3)

正确答案:

(1, -2)

解释：

回忆一下椭圆方程的标准形式是

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ,在那里 (h, k) 是椭圆的中心。

对于题目中给出的方程， h=1 而且 k=-2 ．

椭圆的中心在 (1, -2)

报告错误

例子问题1:理解双曲线和椭圆的特征

用下面的公式求椭圆的中心:

$\frac{(x+9)^2}{2}+\frac{(y-4)^2}{3}=1$

可能的答案:

$(-\sqrt2, -\sqrt3)$

$(\sqrt2, \sqrt3)$

(-9, 4)

(9, -4)

正确答案:

(-9, 4)

解释：

回忆一下椭圆方程的标准形式是

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ,在那里 (h, k) 是椭圆的中心。

对于题目中给出的方程， h=-9 而且 k=4 ．

椭圆的中心在 (-9, 4) ．

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