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微积分预备:双曲线

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例子问题

例子问题1:圆锥部分

利用下面的信息，确定双曲线的方程。

焦点: (-5,4) 而且 (7,4)

偏心: $\frac{3}{2}$

可能的答案:

$\small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{20}=1$

$\small \small \small \small \small \frac{(x-4)^{2}}{20} - \frac{(y-1)^{2}}{36}=1$

$\small \small \small \frac{(x-4)^{2}}{16} - \frac{(y-1)^{2}}{20}=1$

$\small \small \small \frac{(x-1)^{2}}{20} - \frac{(y-4)^{2}}{16}=1$

$\small \small \small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{36}=1$

正确答案:

$\small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{20}=1$

解释：

双曲线的基本信息:

水平横向双曲线方程:

$\small \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

foci =之间的距离

顶点之间的距离=

离心率= c/a

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

中心:(h, k)

首先确定c的值。因为我们知道两个焦点之间的距离是12，我们可以设它等于．

12=2c

$\small c= 6$

接下来，使用离心方程和问题中提供的离心值来确定a的值。

离心率= $\small \small c/a=3/2$

$\small \frac{c}{a}=\frac{3}{2}=\frac{6}{a}$

$\small 12=3a$

$\small a=4$

$\small \small a^{2}=16$

确定的价值 $\small b^{2}$

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\small \small 4^{2}+b^{2}=6^{2}$

$\small \small b^{2}=20$

确定中心点以确定h和k的值。由于焦点的y坐标为4，中心点将在同一条线上。因此, $\small k = 4$ ．

因为中心点到两个焦点的距离相等，我们知道焦点之间的距离是12，我们可以得出 $\small h=1$

中心观点: $\small \small (h, k)= (1,4)$

因此，双曲线方程为:

$\small \small \frac{(x-1)^{2}}{16} - \frac{(y-4)^{2}}{20}=1$

例子问题1:圆锥部分

利用下面的信息，确定双曲线的方程。

焦点: (1, 8) 而且 (9, 8)

偏心:

可能的答案:

$\small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{12} - \frac{(y-8)^{2}}{4}=1$

$\small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{16}=1$

$\small \small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-8)^{2}}{12} - \frac{(y-5)^{2}}{16}=1$

$\small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{12}=1$

$\small \small \small \small \small \small \small \frac{(x-8)^{2}}{4} - \frac{(y-5)^{2}}{12}=1$

正确答案:

$\small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{12}=1$

解释：

双曲线的基本信息:

水平横向双曲线方程:

$\small \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

foci =之间的距离

顶点之间的距离=

离心率= c/a

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

中心:(h, k)

首先确定c的值，因为我们知道两个焦点之间的距离是8，我们可以设它等于．

$\small 8=2c$

$\small \small c= 4$

接下来，使用离心方程和问题中提供的离心值来确定a的值。

离心率= $\small \small \small \small c/a=2$

$\small \small \frac{c}{a}=\frac{2}{1}=\frac{4}{a}$

$\small \small 4=2a$

$\small \small a=2$

$\small \small \small a^{2}=4$

确定的价值 $\small b^{2}$

$\small a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\small \small \small 2^{2}+b^{2}=4^{2}$

$\small \small \small b^{2}=12$

确定中心点以确定h和k的值。由于焦点的y坐标为8，中心点将在同一条线上。因此, $\small \small k = 8$ ．

因为中心点到两个焦点的距离相等，我们知道焦点之间的距离是8，我们可以得出 $\small \small h=5$

中心观点: $\small \small \small (h, k)= (5, 8 )$

因此，双曲线方程为:

$\small \small \small \small \small \small \frac{(x-5)^{2}}{4} - \frac{(y-8)^{2}}{12}=1$

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11日
认证导师

卡尔顿大学，航空航天工程学士。

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里士满大学，理学学士，数学。康涅狄格中央州立大学，数学硕士。

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罗伯特。
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伦斯勒理工学院，电气工程学士。布鲁克林理工学院，硕士，计算机科学。

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