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偏微分方程:变量分离

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例子问题

例子问题3:二阶线性Pd Es

用分离变量求通解。

给定以下信息:

$\\u_t=u_{xx} \\0\leq x\leq1 \\t>0$

$\\\text{Boundary Conditions: }\left\{\begin{matrix} u_x(0,t)=0\\ u_x(1,t)=0 \end{matrix}\right.$

$\text{Initial Conditions: }u(x,0)=cos(\pi x)$

可能的答案:

$\u(x,t)=e^{-\lambda^2t}\cos(\lambda x)$

$\u(x,t)=e^{-\pi^2t}\sin(\pi x)+\cos(\pi x)$

$\u(x,t)=e^{-\pi^2t}\cos(\pi x)+\sin(\pi x)$

$\u(x,t)=e^{-\pi^2t}\cos(\pi x)$

$\u(x,t)=e^{-\pi^2t}\sin(\pi x)$

正确答案:

$\u(x,t)=e^{-\pi^2t}\cos(\pi x)$

解释：

由于问题要求使用分离变量，解决方案如下所示。

$u(x,0)=cos(\pi x)$

让

U(x,t)=T(t)X(x)

因此偏微分方程就变成了

$\\X(x)T'(t)=T(t)X''(x) \\\\\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=k$

是某个常数，因此构成常微分方程，

$\\T'(t)-kT(t)=0 \\X''(x)-kX(x)=0$

在这种特殊情况下，常数必须是负的。

$\\k=-\lambda^2 \\T'(t)+\lambda^2T(t)=0 \\X''(x)+\lambda^2X(x)=0$

解而且结果如下。

$\\T(t)=Ae^{-\lambda^2t} \\X(x)=B\cos(\lambda x)+C\sin(\lambda x)$

从这里解出一般的暂态解

$\\U(x,t)=e^{-\lambda ^2t}(A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)) \\U_x(x,t)=e^{-\lambs ^2t}(-A\lambda \sin(\lambda x)+B\lambda \cos(\lambda x))$

最后应用边界条件求解常数，进而求解通解。

$\\U_x(0,t)=B\lambda e^{-\lambda ^2t}=0 \\B=0 \\u(x,t)=e^{-\pi^2t}\cos(\pi x)$

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