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偏微分方程:守恒定律的导数

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例子问题

问题2:Pd - Es简介

守恒定律是怎样写成偏微分方程的?

可能的答案:

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown S=F$

$\int_{\partial \wp } U dx+\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds$

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F=S$

$\frac{\partial F}{\partial t}+\bigtriangledown U=S$

$\int_{\partial \wp } U dx+\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds=\int_\wp S(U,t)\ dx$

正确答案:

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F=S$

解释：

将散度定理应用于守恒方程，得到了偏微分方程形式的守恒定律。

守恒方程是，

$\frac{d}{dt}\int_\wp U\ dx +\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds=\int_\wp S(U,t)\ dx$

现在，回想一下散度定理，它说，

$\int_{\partial \wp}Fn\ ds=\int_{\wp}\bigtriangledown F\ dx$

因此，通过代入

$\int_{\partial \wp} Fn\ ds$ 为 $\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds$ 结果,

$\frac{d}{dt}\int_\wp U\ dx+\int_{\partial \wp}Fn\ ds=\int_\wp S\ dx$

从这里开始，重写这个方程把导数带入积分中并进行替换

$\int_{\partial \wp} Fn\ ds=\int_\wp \bigtriangledown F\ ds$ ，

做一些代数运算的结果是，

$\int_\wp \left(\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F-S \right )dx=0$

在定义域上积分之后 $\wp$ 得到的偏微分方程是，

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F=S$

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问题3:Pd - Es简介

下一个偏微分方程的阶数是多少?

$u_{xx}+2u_{xy}+\frac{7}{5}u_{yy}=10y$

可能的答案:

二阶

三阶

准线性

线性

一阶

正确答案:

二阶

解释：

就像常微分方程一样，偏微分方程可以用它们的阶来表征。

方程的阶是由方程的最高阶偏导数来定义的。

看看这个方程，

$u_{xx}+2u_{xy}+\frac{7}{5}u_{yy}=10y$

偏导数为:

$\\u_{xx} \\u_{xy} \\u_{yy}$

注意，每个偏导数都包含两个变量，因此这个方程是一个二阶偏微分方程。

报告错误

问题4:Pd - Es简介

下一个偏微分方程的阶数是多少?

$u_{xyz}+u_{xy}+\frac{10}{3}=10y$

可能的答案:

线性

一阶

二阶

三阶

准线性

正确答案:

三阶

解释：

就像常微分方程一样，偏微分方程可以用它们的阶来表征。

方程的阶是由方程的最高阶偏导数来定义的。

看看这个方程，

$u_{xyz}+u_{xy}+\frac{10}{3}=10y$

偏导数为:

$\\u_{xyz} \\u_{xy}$

注意其中一个偏导数包含三个变量，因此这个方程是一个三阶偏微分方程。

报告错误

问题1:Pd - Es简介

下列哪一项描述了双谐波波动方程的物理现象?

可能的答案:

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

正确答案:

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

解释：

在处理偏微分方程时，物理世界中的一些现象在数学世界中有与之相关的特定方程。

看看下面可能的选项，找出每个选项所代表的物理现象。

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$ 称为热方程。

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$ 被称为波动方程。

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$ 被称为拉普拉斯方程。

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$ 称为泊松方程。

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$ 称为双谐波波动方程。

因此，双谐波波动方程的正确答案为

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

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问题1:偏微分方程

下一个偏微分方程的阶数是多少?

$u_{xyz}+u_{xy}=e^y$

可能的答案:

一阶

三阶

二阶

吸

均匀

正确答案:

三阶

解释：

就像常微分方程一样，偏微分方程可以用它们的阶来表征。

方程的阶是由方程的最高阶偏导数来定义的。

看看这个方程，

$u_{xyz}+u_{xy}=e^y$

偏导数为:

$\\u_{xyz} \\u_{xy}$

注意其中一个偏导数包含三个变量，因此这个方程是一个三阶偏微分方程。

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