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11实践测试今日问题抽认卡学习的概念

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抽认卡:偏微分方程

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下列哪一项描述了波动方程中的物理现象?

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

抽认卡:偏微分方程

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下列哪一项描述了波动方程中的物理现象?

你的答案:

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

你的答案:

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

你的答案:

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$

你的答案:

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

正确答案:

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

解释：

在处理偏微分方程时，在物理世界中有一些现象，在数学世界中有与之相关的特定方程。

看看下面的选项，找出每个选项所代表的物理现象。

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$ 被称为热方程。

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$ 称为波动方程。

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$ 被称为拉普拉斯方程。

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$ 被称为泊松方程。

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$ 叫做双谐波方程。

因此，波动方程的正确答案是

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

抽认卡:偏微分方程

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判断语句是真还是假:

波动方程至多有一个解。

真正的

假

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波动方程至多有一个解。

你的答案:

假

正确答案:

真正的

解释：

唯一性定理证明了这个结论是正确的。

$\\u_{tt}=c^2u_{xx}, 0<x<1, t>0 \\\text{Initial Conditions: }u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x), 0\leq x\leq l \\\text{Boundary Conditions: }u(0,t)=0, u(l,t)=0, t\geq 0$

u(x,t) 二阶微分方程是用的吗和．

现在，考虑能量积分

$E(t)=\frac{1}{2}\int_0^l(c^2u^2_x+u^2_t)\ dx$

执行分部积分后，结果如下:

$\int_0^lc^2u_xu_{xt}\ dx=[c^2u_xu_t]_0^l-\int_0^lc^2u_tu_{xx}\ dx$

从这里开始，应用了初始条件和边界条件。

$\\\frac{dE}{dt}=\int_0^l u_t(u_{tt}-c^2u_{xx})\ dx \\\\\frac{dE}{dt}=0 \\\\E(t)=C$

因此,

u_1(x,t)=u_2(x,t)=u(x,t)

证明波动方程只有一个解，因此是唯一的。

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