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数学建模:无约束优化

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例子问题

问题1:多变量的优化

今年春天，一家生产电脑显示器的公司推出了两款新产品，一款是15英寸的，售价189美元，另一款是19英寸的，售价269美元。生产15英寸屏幕的成本是每块85美元，生产19英寸屏幕的成本是每块99美元，再加上20万美元的杂项成本。每种屏幕类型的销售数量影响平均销售价格。据估计，每增加一块屏幕，每套电视机的平均售价就会下降2美分。每卖出一块19英寸的屏幕，15英寸屏幕的平均售价就会下降0.2美分;每卖出一块15英寸的屏幕，19英寸屏幕的价格就会下降0.3美分。用什么偏微分方程来计算每种类型的屏幕应该生产多少单位才能使利润最大化?

可能的答案:

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.005x_1-0.02x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.005x_2-0.02x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.2x_1-0.05x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.002x_2-0.05x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=170-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=104-0.02x_2-0.005x_1=0$

正确答案:

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

解释：

首先，确定所有已知信息。

变量:

$\\s=\text{number of 15 inch screens (per year)} \\t=\text{number of 19 inch screens (per year)} \\p=\text{selling price for 15 inch screen} \\q=\text{selling price for 19 inch screen} \\C=\text{cost to manufacture} \\R=\text{revenue} \\P=\text{profit}$

假设:

$\\p=189-0.01s-0.002t \\q=269-0.003s-0.01t \\R=ps+qt \\C-200,000+85s+99t \\P=R-C \\s\geq0 \\t\geq0$

摘要目的:

最大化利润。

定理:如果是一个函数哪个是的子集 $\mathbb{R}^n$ 和在内部点有最小值或最大值吗然后 $\bigtriangledown f=0$ ．

因此，为了找到该函数的极大值点，需要同时求解所讨论的微分方程并检查边界点。

$\\P=R-C$

$\\=ps+qt-(200,000+85s+99t) \\=(189-0.01s-0.002t)(s)+(269-0.003s -0.01t)(t)-200,000-85s-99t$

现在切换变量/

$\\y=f(x_1,..,x_n) \\x_1=s \\x_2=t$

$\\=(189-0.01x_1-0.002x_2)(x_1)+(269-0.003x_1 -0.01x_2)(x_2)\\-200,000-85x_1-99x_2$

在

$s=\begin{Bmatrix} (x_1,x_2): x_1\geq0, x_2\geq 0 \end{Bmatrix}$

从这里取每个变量的偏微分方程。既然被问到的是用来优化利润的偏微分方程，我们就到此为止吧。

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

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