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问题21:单位矩阵和对角矩阵

下面哪个是单位矩阵?

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$

这些都是有效的单位矩阵。

$\begin{bmatrix} 1& 0\\ 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0& 0&1 \\ 0& 1 & 0\\ 1& 0&0 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$

解释：

单位矩阵是一个所有对角元素为1，所有非对角元素为0的方阵。上述唯一的平方矩阵是:

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix} \textup{and}$ $\begin{bmatrix} 0& 0&1 \\ 0& 1 & 0\\ 1& 0&0 \end{bmatrix}$

这两个矩阵中只有前者符合对角元素(对角的意思是从左上到右下)为1而非对角元素为0的条件。

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问题22:单位矩阵和对角矩阵

下面哪个是对角矩阵?

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0&0 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&0 &2 \\ 0& 3& 0\\ 4& 0& 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0& 1& 2\\ 3& 0& 4\\ 5&6 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3&0 & 0 \end{bmatrix}\,$

$\begin{bmatrix} 1& 2&0 &0 \\ 0& 0& 3& 4 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0&0 & 3 \end{bmatrix}$

解释：

对角矩阵是除对角元素外所有元素都为零的矩阵。一个矩阵的对角元素米是元素米_ij其中i=j。这里，i表示列数，j表示行数。唯一满足这个定义的矩阵是:

$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0&0 & 3 \end{bmatrix}$

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问题23:单位矩阵和对角矩阵

下面哪个是对角矩阵?

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 3&0 &0 &0 \\ 0 & 7& 0& 0\\ 0 & 0& 1& 9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3&0 &0 &0 \\ 0 & 7& 5& 0\\ 0 & 0& 0& 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4&0 &0 &0 \\ 0 & 5& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2&0 &0 &0 \\ 0 & 4& 0& 0\\ 0 & 0& 7& 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&9 &0 &0 \\ 0 & 0& 3& 0\\ 0 & 0& 0& 1 \end{bmatrix}\:$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 2&0 &0 &0 \\ 0 & 4& 0& 0\\ 0 & 0& 7& 0 \end{bmatrix}$

解释：

对角矩阵是除对角元素外所有元素都为零的矩阵。一个矩阵的对角元素米是元素米_ij其中i=j。这里，i表示列数，j表示行数。这个矩阵不一定是方阵;只要元素不在表单中米₂均为零，则矩阵为诊断矩阵。唯一满足这个定义的矩阵是:

$\begin{bmatrix} 2&0 &0 &0 \\ 0 & 4& 0& 0\\ 0 & 0& 7& 0 \end{bmatrix}$

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问题1:转置

求矩阵的转置．

$A=\begin{bmatrix} 1& 4\\ 5& 8 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$A^T=\begin{bmatrix} 8& 5\\ 4& 1 \end{bmatrix}$

$A^T=\begin{bmatrix} 1& 5\\ 4& 8 \end{bmatrix}$

$A^T=\begin{bmatrix} 1& 4\\ 5& 8 \end{bmatrix}$

$A^T=\begin{bmatrix} 4& 5\\ 8& 1 \end{bmatrix}$

$A^T=\begin{bmatrix} 1& 5\\ 8& 4 \end{bmatrix}$

正确答案:

$A^T=\begin{bmatrix} 1& 5\\ 4& 8 \end{bmatrix}$

解释：

为了求转置，我们需要把列化成行。

$A^T=\begin{bmatrix} 1& 5\\ 4& 8 \end{bmatrix}$

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问题2:转置

矩阵A的转置，

$A=\begin{bmatrix} 5&4 &7 \\ 8&4 &2 \\ 0&9 &5 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 4&4 &9 \\ 5&8 &0 \\ 7&2 &5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 7&4 &5 \\ 2&4 &8 \\ 5&9 &0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5&8 &0 \\ 4&4 &9 \\ 7&2 &5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5&4 &7 \\ 0&9 &5 \\ 8&4 &2 \end{bmatrix}$

你不能转置一个方阵

正确答案:

$\begin{bmatrix} 5&8 &0 \\ 4&4 &9 \\ 7&2 &5 \end{bmatrix}$

解释：

转置矩阵的意思就是把原矩阵的列变成转置矩阵的行。例子: $\begin{bmatrix} 1& 2&3 \\ 4&5 &6 \\ 7&8 &9 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 1&4 &7 \\ 2&5 &8 \\ 3&6 &9 \end{bmatrix}$ ie。第一列变成第一行，第二列变成第二行，等等。

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问题3:转置

$\begin{bmatrix} 2&5 \\ 4& 5\\ 3&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}^{T}=$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 2&4 &3 &0 \\ 5&5 &2 &1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5&2 \\ 5&4 \\ 2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

对于非方阵是不可能的

$\begin{bmatrix} 5&5 &2 &1 \\ 2&4 &3 &0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2&5 &3 &1 \\ 5& 4&2 &0 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 2&4 &3 &0 \\ 5&5 &2 &1 \end{bmatrix}$

解释：

报告错误

问题4:转置

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 1&0 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&0 \\ 1&1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0&1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

解释：

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问题5:转置

$\begin{bmatrix} 2&10 &54 \\ -5& 6& 17\\ 25& 4& 0\\ 2& 12&-4 \end{bmatrix}^{T}=$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 54&17 &0 &-4 \\ 10&6 &4 &12 \\ 2&-5 &25 &2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2&-5 &25 &2 \\ 10&6 &4 &12 \\ 54&17 &0 &-4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10& 6& 4&12 \\ 2&-5 &25 &2 \\ 54&17 &0 &-4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 6&25 &17 &54 \\ 0& -4& -5& 2\\ 4&10 &12 &2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 54&10 &2 \\ 17&6 &-5 \\ 0&4 &25 \\ -4&12 &2 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 2&-5 &25 &2 \\ 10&6 &4 &12 \\ 54&17 &0 &-4 \end{bmatrix}$

解释：

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问题1:转置

$\begin{bmatrix} 7&8 \\ 0&2 \end{bmatrix}^{T}=$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 7&0 \\ 8&2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2&8 \\ 0&7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 8&7 \\ 2&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 8& 2\\ 7& 0 \end{bmatrix}$

不可能的

正确答案:

$\begin{bmatrix} 7&0 \\ 8&2 \end{bmatrix}$

解释：

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问题1:转置

$\begin{bmatrix} 5\\ -8\\ 10 \end{bmatrix}^{T}=$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 5&-8 &10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10&-8 &5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -5&8 &-10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -5\\8 \\-10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10\\ -8\\ 5 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 5&-8 &10 \end{bmatrix}$

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