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线性代数:最小二乘

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例子问题

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例子问题1:最小二乘

让 $y=(1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \10 )$ , $x=(0 \ 1 \ 2 \3 \4 \5)$ 求一条直线的最小二乘解。

可能的答案:

$x=\begin{bmatrix} -\frac{5}{21}\\ \\ \frac{11}{7} \end{bmatrix}$

不存在解决方案

$x=\begin{bmatrix} \frac{5}{21}\\ \\ \frac{11}{7} \end{bmatrix}$

$x=\begin{bmatrix} -\frac{7}{21}\\ \\ \frac{1}{7} \end{bmatrix}$

$x=\begin{bmatrix} 0\\ \\ 11 \end{bmatrix}$

正确答案:

$x=\begin{bmatrix} \frac{5}{21}\\ \\ \frac{11}{7} \end{bmatrix}$

解释：

线性拟合的最小二乘解方程如下所示。

$y=\theta_1+\theta_2x_i$

回想一下最小二乘法的公式。

Ax=b

$x=(A^T\cdot A)^{-1}A^T\cdot b$

记住当建立A矩阵时，我们必须用1填满一列。

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\\ 1 & 2\\ 1 & 3\\ 1& 4\\ 1& 5 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\10 \end{bmatrix}$

为了使事情更简单，让我们做 $C=A^T\cdot A$ , $D=A^T\cdot b$

$C=\begin{bmatrix} 1 & 1&1 &1 &1 &1 \\ 0 & 1& 2& 3& 4& 5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1&0 \\ 1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\\ 1& 4\\ 1& 5 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 15 & 55 \end{bmatrix}$

现在我们需要解出逆函数，我们可以简单地做下面的事情。我们在对角线上翻转符号，改变主对角线上的位置，然后乘以 $\frac{1}{\det(C)}$ ．

$\det(C)=55(6)-(15)(15)=105$

$C^{-1}=\frac{1}{105}\begin{bmatrix}55 & -15 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}$

$D=\begin{bmatrix} 1&1 &1 &1 &1 & 1\\ 0&1 &2 &3 &4 &5 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 10\\ \end{bmatrix}$

$D=\begin{bmatrix} 25\\ 90 \end{bmatrix}$

$x=C^{-1}\cdot D=\frac{1}{105}\begin{bmatrix} 55& -15\\ -15& 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 25\\ 90 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{5}{21}\\ \\ \frac{11}{7} \end{bmatrix}$

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例子问题2:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Approximate }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the system: }\begin{bmatrix}-12&9\\13&14\\-5&-16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-100\\-5\\14\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}3.80\\-4.63\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}12.80\\4.37\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4.80\\-3.63\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0.80\\-7.63\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}4.80\\-3.63\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}-12&13&-5\\9&14&-16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-12&9\\13&14\\-5&-16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-12&13&-5\\9&14&-16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-100\\-5\\14\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}338&154\\154&533\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1065\\-1194\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4.80\\-3.63\end{bmatrix}\end{align*}$

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例子问题3:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Approximate the values of }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the function: }\begin{bmatrix}15&15\\-7&-12\\-3&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-120\\-4\\-180\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}10.29\\-10.69\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}16.29\\-4.69\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}8.29\\-12.69\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}3.29\\-17.69\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}8.29\\-12.69\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}15&-7&-3\\15&-12&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}15&15\\-7&-12\\-3&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15&-7&-3\\15&-12&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-120\\-4\\-180\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}283&282\\282&450\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1232\\-3372\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8.29\\-12.69\end{bmatrix}\end{align*}$

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问题4:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Approximate }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the system: }\begin{bmatrix}-13&13\\9&9\\11&-11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-109\\-168\\46\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}-15.02\\-21.65\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-3.02\\-9.65\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-12.02\\-18.65\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-6.02\\-12.65\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}-6.02\\-12.65\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}-13&9&11\\13&9&-11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-13&13\\9&9\\11&-11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-13&9&11\\13&9&-11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-109\\-168\\46\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}371&-209\\-209&371\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}411\\-3435\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6.02\\-12.65\end{bmatrix}\end{align*}$

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例5:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Approximate the values of }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the function: }\begin{bmatrix}20&-19\\-9&-18\\14&-10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8\\11\\37\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}-7.87\\-8.47\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5.13\\4.53\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-0.87\\-1.47\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0.13\\-0.47\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}0.13\\-0.47\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}20&-9&14\\-19&-18&-10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}20&-19\\-9&-18\\14&-10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20&-9&14\\-19&-18&-10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-8\\11\\37\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}677&-358\\-358&785\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}259\\-416\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.13\\-0.47\end{bmatrix}\end{align*}$

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例子问题1:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Approximate }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the system: }\begin{bmatrix}14&-16\\5&-18\\5&-14\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-92\\-165\\-168\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}10.31\\15.37\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}12.31\\17.37\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}7.31\\12.37\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-1.69\\3.37\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}7.31\\12.37\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}14&5&5\\-16&-18&-14\end{bmatrix}\begin{bmatrix}14&-16\\5&-18\\5&-14\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&5&5\\-16&-18&-14\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-92\\-165\\-168\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}246&-384\\-384&776\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2953\\6794\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7.31\\12.37\end{bmatrix}\end{align*}$

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例子问题1:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Using the method of least-squares, approximate x and y values for: }\\&\begin{bmatrix}0&16\\-2&-18\\3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-73\\158\\-35\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}-1.82\\-0.26\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-7.82\\-6.26\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-4.82\\-3.26\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0.18\\1.74\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}-7.82\\-6.26\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}0&-2&3\\16&-18&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&16\\-2&-18\\3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-2&3\\16&-18&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-73\\158\\-35\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}13&51\\51&605\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-421\\-4187\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7.82\\-6.26\end{bmatrix}\end{align*}$

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例8:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Using the method of least-squares, approximate x and y values for: }\\&\begin{bmatrix}1&-17\\-6&1\\1&-13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}188\\149\\19\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}-32.87\\-15.28\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-26.87\\-9.28\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-35.87\\-18.28\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-28.87\\-11.28\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}-26.87\\-9.28\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}1&-6&1\\-17&1&-13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-17\\-6&1\\1&-13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-6&1\\-17&1&-13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}188\\149\\19\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}38&-36\\-36&459\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-687\\-3294\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-26.87\\-9.28\end{bmatrix}\end{align*}$

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问题9:最小二乘

$\begin{align*}&\text{Approximate the values of }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the function: }\begin{bmatrix}14&-8\\-4&-5\\-9&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-161\\188\\30\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}-21.01\\-15.26\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-12.01\\-6.26\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-13.01\\-7.26\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-7.01\\-1.26\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}-13.01\\-7.26\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}14&-4&-9\\-8&-5&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}14&-8\\-4&-5\\-9&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&-4&-9\\-8&-5&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-161\\188\\30\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}293&-74\\-74&93\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3276\\288\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-13.01\\-7.26\end{bmatrix}\end{align*}$

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问题71:矩阵微积分

$\begin{align*}&\text{Approximate the values of }\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&\text{for the function: }\begin{bmatrix}-13&12\\-12&1\\-2&19\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-103\\-178\\-16\end{bmatrix}\end{align*}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix}12.04\\1.51\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}10.04\\-0.49\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}17.04\\6.51\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5.04\\-5.49\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix}12.04\\1.51\end{bmatrix}$

解释：

$\begin{align*}&\text{When the rows of a matrix outnumber the columns in an equation,}\\&\text{there are a greater number of equations than variables. In order}\\&\text{to approximate the values of these variables, a least-squares}\\&\text{approach is appropriate. This is done by multiplying each side}\\&\text{of the equation by the transpose of the equation matrix, and}\\&\text{solving the resulting equation:}\\&Ax=B\\&A^{T}Ax=A^{T}B\\&(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}B\\&\text{Using this, we can approximate our values:}\\&\begin{bmatrix}-13&-12&-2\\12&1&19\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-13&12\\-12&1\\-2&19\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-13&-12&-2\\12&1&19\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-103\\-178\\-16\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}317&-206\\-206&506\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3507\\-1718\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12.04\\1.51\end{bmatrix}\end{align*}$

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