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ISEE高级定量:方程

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例子问题

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例子问题1:代数的概念

一家公司制造玩具船。他们每月的固定成本是1500美元。每艘船的可变成本是50美元。他们的船卖75美元一艘。每月要卖出多少艘船才能收支平衡?

可能的答案:

75

60

One hundred.

50

正确答案:

60

解释：

盈亏平衡点是指成本等于收入的地方

固定成本+可变成本=收入

1500 + 50x= 75x

解x结果x每月售出60艘船以达到收支平衡。

例子问题1:代数的概念

莎莉以卖汽车为生。她的月薪为1000美元，每卖出一辆车可获得500美元的佣金。如果她一个月卖出七辆车，她能赚多少钱?

可能的答案:

5500美元

4500美元

4000美元

5000美元

正确答案:

4500美元

解释：

她卖出7辆车得到的佣金是500 * 7 = 3500美元，加上1000美元的工资，这个月的收入是4500美元。

例子问题3:方程

求解下列方程组:x- - - - - -y= 5和2x+y= 4。

和是多少x而且y?

可能的答案:

1

5

9

6

正确答案:

1

解释：

这两个方程相加得到3x= 9，所以x= 3。将x的值代入其中一个方程求y；因此x= 3和y= -2，所以它们的和是1。

问题4:如何找到一个方程的解

如果x= 1/3 andy= 1/2，求2的值x+ 3y．

可能的答案:

2

1

6/5

13/6

正确答案:

13/6

解释：

代入的值x而且y到给定的表达式中:

2(1/3) + 3(1/2)

= 2/3 + 3/2

= 4/6 + 9/6

= 13/6

问题4:方程

的值是表达式 $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+9}$ 未定义的?

可能的答案:

表达式没有定义 x= 1

表达式没有定义 x = -3

表达式没有定义 x = -3 而且 x=3

的所有实值都定义了该表达式

表达式没有定义 x= 1 而且 x= -1

正确答案:

的所有实值都定义了该表达式

解释：

的值，表达式没有定义它的分母是0，也就是说，它的分母是0

$x^{2} +9 =0$

然而，一切都是真的，

$x^{2} \geq 0$ ，

随后,

$x^{2} +9 \geq 9 >0$

也就是说分母总是正的。因此，表达式是为的所有实值定义的．

例子问题2:代数的概念

艾伯特钱包里有13张钞票，每张是5元或10元。他能拥有的10美元纸币的最少数目是多少?

可能的答案:

正确答案:

解释：

让艾伯特有多少张十元钞票;然后他有 13-x 五美元的钞票。

然后他有 10x + 5(13-x) 他钱包里的美元，肯定大于100美元。建立并解决一个不等式:

10x + 5(13-x) > 100

10x + 65-5x > 100

5x > 35

x>7

因此，艾伯特能拥有的10美元纸币的最小整数是8张。

示例问题7:如何找到一个方程的解

解出：

$x (x+ 5) = \left ( x+2\right )^{2}$

可能的答案:

$x = 4 \textrm{ or }x=9$

x = 4

x = 9

$x = 4 \textrm{ or }x=5$

x = 5

正确答案:

x = 4

解释：

展开两个产品，左边使用分布，右边使用二项平方模式:

$x (x+ 5) = \left ( x+2\right )^{2}$

$x \cdot x+x \cdot 5= x^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x +2^{2}\right )$

$x^{2}+5 x = x^{2} + 4x +4$

$x^{2} +5 x-x^{2} = x^{2} + 4x +4 -x^{2}$

5 x= 4x +4

注意，二次项可以消去，得到一个线性方程。

5 x-4x = 4x +4 -4x

x = 4

例子问题2:如何找到一个方程的解

解出：

4x + 2(x-7) = 2 (3x -5)

可能的答案:

x =-4

x = 6

x = 4

x = 0

这个方程没有解。

正确答案:

这个方程没有解。

解释：

4x + 2(x-7) = 2 (3x -5)

$4x + 2 \cdot x-2 \cdot7 = 2 \cdot 3x -2 \cdot5$

4x + 2 x-14 = 6x -10

$\left (4 + 2 \right )x-14 = 6x -10$

6x-14 = 6x -10

6x-6x-14 = 6x -6x -10

-14 = -10

这个同样错误的表述提醒我们原来的方程没有解。

例子问题2:代数的概念

(2x-7)(x + 4) = 27

可能的答案:

$x =-4 \textrm{ or } x =3\frac{1}{2}$

$x =17 \textrm{ or } x =23$

$x = -5\frac{1}{2} \textrm{ or } x = 5$

$x = 5\textrm{ or } x = 5\frac{1}{2}$

$x =-3\frac{1}{2} \textrm{ or } x =4$

正确答案:

$x = -5\frac{1}{2} \textrm{ or } x = 5$

解释：

首先，将二次方程改写为标准形式，将左边的积展开，然后收集左边的所有项:

(2x-7)(x + 4) = 27

$2x \cdot x+ 2x \cdot 4 -7\cdot x -7\cdot 4 = 27$

$2x^{2}+ 8x -7 x -28 = 27$

$2x^{2}+ x -28 = 27$

$2x^{2}+ x -28-27 = 27-27$

$2x^{2}+ x- 55 = 0$

使用将中间项拆分为两项的方法;我们希望系数的和是1，乘积是 2 (-55) = -110 ．这些数字是 -10,11 ，所以我们这样做:

$2x^{2}-10x+ 11x- 55 = 0$

$2x\left (x- 5 \right) + 11 \left ( x- 5 \right) = 0$

$\left (2x+ 11 \right) \left ( x- 5 \right) = 0$

将每个表达式设为0并求解:

2x + 11 = 0

2x = -11

$x = -5\frac{1}{2}$

或

x-5= 0

x = 5

解集是 $\left \{ -5 \frac{1}{2}, 5\right \}$ ．

例子问题2:代数的概念

解出：

$x\left (3x+7 \right ) =20$

可能的答案:

$x=-4 \textrm{ or }x = 1\frac{2}{3}$

$x=-1\frac{1}{3} \textrm{ or }x = 5$

$x=4 \frac{1}{3} \textrm{ or } x = 20$

$x=-1\frac{2}{3} \textrm{ or }x = 4$

$x=-5 \textrm{ or }x = 1\frac{1}{3}$

正确答案:

$x=-4 \textrm{ or }x = 1\frac{2}{3}$

解释：

首先，将二次方程写成标准形式通过左边的乘积，然后收集左边所有的项

$x\left (3x+7 \right ) =20$

$x\left \cdot \; 3x+x\left \cdot\; 7 =20$

$3x ^{2}+7x =20$

$3x ^{2}+7x -20=20 -20$

$3x ^{2}+7x -20=0$

使用二次表达式的因式分解方法 $3x ^{2}+7x -20$ ；我们希望通过找到两个整数来分割线性项，这两个整数的和是7，乘积是 3 (-20) = -60 ．这些整数是 -5,12 ,所以:

$\left (3x ^{2}-5x \right ) + \left ( 12x -20 \right ) =0$

$x \left (3x-5 \right ) +4 \left ( 3x -5 \right ) =0$

$\left (x +4 \right )\left (3x-5 \right )=0$

将每个表达式设为0并求解:

x+4 = 0

x=-4

或

3x-5=0

3x=5

$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

解集是 $\left \{ -4, 1\frac{2}{3}\right \}$ ．

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