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ISEE高级数学:锥

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例子问题

例子问题1:如何求圆锥体的体积

圆锥体的高度为18英寸;它的底座半径为4英寸。给出它的体积，单位是立方英尺 $\pi$ ）

可能的答案:

$\frac{1}{4} \pi \textrm{ ft}^{3}$

$\frac{1}{6} \pi \textrm{ ft}^{3}$

$\frac{1}{3} \pi \textrm{ ft}^{3}$

$\frac{1}{12} \pi \textrm{ ft}^{3}$

$\frac{1}{18} \pi \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$\frac{1}{18} \pi \textrm{ ft}^{3}$

解释：

通过除以12将半径和高度从英寸转换为英尺:

身高:18英寸= $18 \div 12 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ 脚

半径:4英寸= $4 \div 12 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

圆锥的体积由公式给出

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$

替代 $r = \frac{1}{3}, h = \frac{3}{2}$ ：

$V = \frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right ) ^{2}\cdot \frac{3}{2} \cdot \pi$

$V = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2} \cdot \pi$

$V = \frac{1}{1}\cdot\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot \pi$

$V = \frac{1}{18} \pi$

例子问题1:如何求圆锥体的体积

给出一个圆锥的体积，它的高度是10英寸，底是一个有周长的圆 $6 \pi$ 英寸。

可能的答案:

$360 \pi \textrm{ in}^{3}$

$90 \pi \textrm{ in}^{3}$

$45 \pi \textrm{ in}^{3}$

$30 \pi \textrm{ in}^{3}$

$120 \pi \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$30 \pi \textrm{ in}^{3}$

解释：

有周长的圆 $6 \pi$ 英寸为半径

$r = \frac{C }{2\pi }=\frac{6\pi }{2\pi } = 3$ 英寸。

因此，基座的面积为

$B = \pi r^{2} = \pi \cdot 3^{2} = 9 \pi$ 平方英寸。

求圆锥体的体积，代入 $B = 9 \pi , h = 10$ 圆锥体积公式中:

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3} \cdot 9 \pi \cdot 10 = 30 \pi$ 立方英寸

问题#501:8年级

圆锥体的高度与其底的半径相等。底的周长是 $10 \pi$ 英寸。给出它的体积。

可能的答案:

$125 \textrm{ in}^{3}$

$1,000 \textrm{ in}^{3}$

$\frac{125}{3} \pi \textrm{ in}^{3}$

$\frac{5,000}{3} \pi \textrm{ in}^{3}$

$\frac{1,000}{3} \pi \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$\frac{125}{3} \pi \textrm{ in}^{3}$

解释：

有周长的圆 $10 \pi$ 英寸为半径

$r = \frac{C }{2\pi }=\frac{10\pi }{2\pi } = 5$ 英寸。

高度也是英寸，替换一下 h = r = 5 圆锥体积公式中:

$V = \frac{1}{3} \pi r ^{2}h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 ^{2} \cdot 5 = \frac{125}{3} \pi$ 立方英寸

例子问题1:如何求圆锥体的体积

你是一名建筑师，正在设计一个锥形结构。如果这个结构高30英尺，底部宽10英尺，那么这个结构的体积是多少?

可能的答案:

250 ft^3

$100 \pi ft^3$

$22.5 \pi ft^3$

$250 \pi ft^3$

正确答案:

$250 \pi ft^3$

解释：

你是一名建筑师，正在设计一个锥形结构。如果这个结构高30英尺，底部宽10英尺，那么这个结构的体积是多少?

首先用圆锥体体积的公式:

$V=\pi r^2\frac{h}{3}$

现在，我们只需要把已知的代入。

我们知道高度是30英尺。

我们知道直径是10英尺，但是，我们需要半径。

10除以2得到半径5英尺。

现在，让我们访问....

$V=\pi (5ft)^2\frac{30ft}{3}=\pi25ft^2*10ft=250 \pi ft^3$

例5:如何求圆锥体的体积

用下列测量值求圆锥体的体积:

直径= 12英寸
高度= 6英寸

可能的答案:

$72\pi \text{ in}^3$

$84\pi \text{ in}^3$

$54\pi \text{ in}^3$

$36\pi \text{ in}^3$

$48\pi \text{ in}^3$

正确答案:

$72\pi \text{ in}^3$

解释：

为了求出圆锥的体积，我们将使用以下公式:

$V = \pi r^2 \frac{h}{3}$

在哪里r是半径h是圆锥的高度。

现在，我们知道圆锥体的直径是12英寸。我们还知道直径是半径的两倍。因此，半径为6in。

我们知道圆锥的高度是6英寸。

知道了这些，我们可以代入公式。我们得到了

$V = \pi \cdot (6\text{in})^2 \cdot \frac{6\text{in}}{3}$

$V = \pi \cdot 36\text{in}^2 \cdot 2\text{in}$

$V = \pi \cdot 72\text{in}^3$

$V = 72\pi \text{ in}^3$

例子问题6:如何求圆锥体的体积

用下列测量值求圆锥体的体积:

直径:14
高度:9

可能的答案:

$147\pi \text{ in}^3$

$63\pi \text{ in}^3$

$441\pi \text{ in}^3$

$252\pi \text{ in}^3$

$126\pi \text{ in}^3$

正确答案:

$147\pi \text{ in}^3$

解释：

为了求出圆锥的体积，我们将使用以下公式:

$V = \pi r^2 \frac{h}{3}$

在哪里r是半径h是圆锥的高度。

现在，我们知道圆锥的直径是14英寸。我们还知道直径是半径的两倍。因此，半径为7in。

我们知道圆锥的高度是9英寸。

知道了这些，我们可以代入公式。我们得到了

$V = \pi \cdot (7\text{in})^2 \cdot \frac{9\text{in}}{3}$

$V = \pi \cdot 49\text{in}^2 \cdot 3\text{in}$

$V = \pi \cdot 147\text{in}^3$

$V = 147\pi \text{ in}^3$

示例问题7:如何求圆锥体的体积

用下列测量值求圆锥体的体积:

高度:12
直径:6

可能的答案:

$36\pi \text{ in}^3$

$28\pi \text{ in}^3$

$32\pi \text{ in}^3$

$48\pi \text{ in}^3$

$24\pi \text{ in}^3$

正确答案:

$36\pi \text{ in}^3$

解释：

为了求出圆锥的体积，我们将使用以下公式:

$V = \pi r^2 \frac{h}{3}$

在哪里r是半径h是圆锥的高度。

现在，我们知道圆锥的高度是12英寸。我们还知道圆锥体的直径是6英寸。我们知道直径是半径的两倍。因此，半径为3in。

那么，我们得到

$V = \pi \cdot (3\text{in})^2 \cdot \frac{12\text{in}}{3}$

$V = \pi \cdot 9\text{in}^2 \cdot 4\text{in}$

$V = \pi \cdot 36\text{in}^3$

$V = 36\pi \text{ in}^3$

例8:如何求圆锥体的体积

求出一个底径为2，高为10的圆锥体的体积。

可能的答案:

$\frac{10}{3}\pi$

$10\pi$

$\frac{40}{3}\pi$

$\frac{20}{3}\pi$

$\frac{5}{3}\pi$

正确答案:

$\frac{10}{3}\pi$

解释：

写出计算圆锥体积的公式。

$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

直径是2，也就是说半径是1。代入已知的维度。

$V=\frac{1}{3}\pi (1)^2(10)$

答案是: $\frac{10}{3}\pi$

例子问题1:视锥细胞

圆锥的高度为240厘米;它的底座半径为80厘米。给出它的体积，单位是立方米。

可能的答案:

$1.536 \pi \textrm{ m}^{3}$

$0.512 \pi \textrm{ m}^{3}$

$0.768 \pi \textrm{ m}^{3}$

$4.608 \pi \textrm{ m}^{3}$

正确答案:

$0.512 \pi \textrm{ m}^{3}$

解释：

通过除以100将两个维度从厘米转换为米:

身高:240厘米= $240 \div 100 = 2.4$ 米。

半径:80厘米= $80 \div 100 = 0.8$ 米。

替代 r = 0.8, h = 2.4 在体积公式中:

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 0.8 ^{2} \cdot 2.4$

$V = \frac{1}{3}\cdot 0.8 \cdot 0.8 \cdot 2.4 \cdot \pi$

$V =0.512 \pi$

例子问题1:如何求圆锥体的表面积

用下面的方法测量圆锥体的表面积是多少?

r=4;d=8;h=10

可能的答案:

$5+16\pi$

$5+8\pi$

$5+4\pi$

$5+64\pi$

正确答案:

$5+16\pi$

解释：

圆锥的表面积可由下式求出:

$SA=\frac{1}{2}h+r^2\pi$

$SA=\frac{1}{2}(10)+4^2\pi=5+16\pi$

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查尔斯顿南方大学，教育学学士，数学。

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