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ISEE高级数学:如何找到列表中缺失的部分

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例子问题

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例子问题1:如何找到列表中缺失的部分

定义设置 $A = \left \{ 1, 2, 4, 8, 10, a, g, j, r, w \right \}$ ．下面哪个集合可以定义为集合这 $A \cap B = \varnothing$ ?

可能的答案:

$B = \left \{ 3, 5, 6, 7, 9, e, g, t, u, x\right \}$

$B =\left \{ 3, 5, 7, 10, 13, e, f, h, k, y \right \}$

$B= \left \{ 3,5, 6,8,14,d,f,s,t,x\right \}$

$B = \left \{ 5,6,7,11,17, f,h,i,k,r\right \}$

$B = \left \{ 3, 6, 7, 9, 12, b, e, h, s, t\right \}$

正确答案:

$B = \left \{ 3, 6, 7, 9, 12, b, e, h, s, t\right \}$

解释：

为 $A \cap B = \varnothing$ 要成为一个真语句，集合而且不能有任何共同的元素。我们可以消去四个选项注意到每个元素中都有一个元素(下划线)：

$\left \{ 3,5, 6,\underline{8},14,d,f,s,t,x\right \}$

$\left \{ 3, 5, 7, \underline{10}, 13, e, f, h, k, y \right \}$

$\left \{ 3, 5, 6, 7, 9, e, \underline{g}, t, u, x\right \}$

$\left \{ 5,6,7,11,17, f,h,i,k,\underline{r}\right \}$

然而, $B = \left \{ 3, 6, 7, 9, 12, b, e, h, s, t\right \}$ 不与 $A = \left \{ 1, 2, 4, 8, 10, a, g, j, r, w \right \}$ ，所以它们的交点是 $\varnothing$ 通过定义。这是正确的选择。

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例子问题2:如何找到列表中缺失的部分

给定一个集合 $A = \left \{ 1,3, 6, 7, 8\right \}$ ，我们可以分配给下列哪个集合这样 $A \cup B = \left \{ 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right \}$ ?

可能的答案:

没有一个选项正确地回答了问题。

$\left \{ 2, 4, 9, 10 \right \}$

$\left \{ 6,5,4, 9, 10\right \}$

$\left \{ 2, 9,5, 4, 10, 8\right \}$

$\left \{1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 12\right \}$

正确答案:

$\left \{ 2, 9,5, 4, 10, 8\right \}$

解释：

$A \cup B$ 集合的并集，即所有元素的集合吗，，或者两者都有。

为 $A \cup B = \left \{ 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right \}$ ，必须包含所有元素吗 $\left \{ 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right \}$ 不在里面,或 $\left \{ 2, 4, 5, 9, 10\right \}$ ．这样我们就可以消去 $\left \{ 2, 4, 9, 10 \right \}$ ，其中不包括5，和 $\left \{ 6,5,4, 9, 10\right \}$ ，其中不包括2。

同时,不能包含任何不在中的元素 $\left \{ 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right \}$ ．这样我们就可以消去 $\left \{1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 12\right \}$ 包括12个。

这使得 $\left \{ 2, 9,5, 4, 10, 8\right \}$ ．

如果 $B = \left \{ 2, 9,5, 4, 10, 8\right \}$ ,然后

$A \cup B =\left \{ 1,3, 6, 7, 8\right \} \cup \left \{ 2, 9,5, 4, 10, 8\right \}$

$= \left \{ 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right \}$ ．

这是正确的选择。

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例子问题3:如何找到列表中缺失的部分

检查顺序:

$5, 6, 8, 11, 15, 20, 26, \square, \bigcirc,...$

这个圆能被几个数整除?

可能的答案:

正确答案:

解释：

每个元素都是通过在前一个元素上加一个数字来获得的;每次增加的数字增加1:

5 + 1 = 6

6 + 2 = 8

8 + 3 = 11

11 + 4 = 15

15 + 5 = 20

20 + 6 = 26

26 + 7 = 33 -这个数字取代了平方

33 + 8 = 41 -这个数字代替圆

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问题4:如何找到列表中缺失的部分

掷出一对公平的骰子。正面数目的乘积大于等于的概率是多少?

可能的答案:

$\frac {2}{9}$

$\frac {1}{3}$

$\frac {5}{18}$

$\frac {1}{4}$

$\frac {1}{6}$

正确答案:

$\frac {2}{9}$

解释：

在可能的36次滚动中，下列结果的乘积大于或等于20:

$\left\{ (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) \right\}$

这是8 / 36，得到概率

$\frac{8}{36} = \frac {2}{9}$ ．

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例5:如何找到列表中缺失的部分

有十名学生在竞选学生会;每个学生都要选四个人。

其中两个候选人是凯文的兄弟，米奇和史蒂夫。凯文想投他两个兄弟中的一个，而不是两个。有多少种方式可以让凯文把票投给他兄弟中的一个?

可能的答案:

336

672

224

112

正确答案:

112

解释：

凯文会从八名学生中选出三个不是他兄弟的，他会不顾秩序地这么做。这是8个中3个的组合数:

$C(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!\; 3!} = \frac{8!}{5!\; 3!} = \frac{40,320}{120 \times 6} = 56$

凯文也会从他的两个兄弟中选择一个。根据乘法原理，凯文做到了 $56 \times 2 = 112$ 填写选票的方法。

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例子问题6:如何找到列表中缺失的部分

定义 $f (x) = \frac{1}{x ^{2}+ 9 }$

自然领域是什么?

可能的答案:

$(3 , \infty)$

$(-\infty , 3) \cup (3 , \infty)$

$(-\infty ,3)$

$(-\infty , \infty)$

正确答案:

$(-\infty , \infty)$

解释：

定义域唯一可能的限制是分母 $x ^{2}+ 9$ ，它不能等于0。我们可以找到任何这样的值如下:

$x ^{2}+ 9 = 0$

$x ^{2}+ 9- 9 = 0 - 9$

$x ^{2} = - 9$

这个没有实数解，所以定义域是所有实数的集合， $(-\infty , \infty)$ ．

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示例问题7:如何找到列表中缺失的部分

9名学生正在竞选学生会;每个学生都要选四个人。

候选人包括艾琳的两个妹妹莫林和科琳。艾琳想投他们中的一个或两个。艾琳有多少种方式可以填写她的选票，让她的一个或两个妹妹都在她的选择中?

可能的答案:

154

133

112

正确答案:

133

解释：

如果艾琳想选择两个姐妹，那么她将从其他七个候选人中选择两个。这是7种组合中2种的组合数:

$C (7,2) = \frac{7!}{(7-2)!\; 2!} = \frac{7!}{5!\; 2!} = \frac{5,040}{120 \times 2} = 21$

如果艾琳想选一个妹妹，那么她会从其他八个候选人中选三个。这是8种组合中3种的组合数:

$C (8,3) = \frac{8!}{(8-3)!\; 3!} = \frac{8!}{5!\; 3!} = \frac{40,320}{120 \times 6} = 56$

因为Eileen也有两种选择妹妹的方法，根据乘法原理，她可以填写选票 $56\times 2 = 112$ 其中包括一个姐妹。

加上这两个:

112 + 21 = 133

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例8:如何找到列表中缺失的部分

定义 $f (x) = \frac{1}{x ^{2}+ 9 }$

的范围是什么?

可能的答案:

$\left ( \frac{1}{9}, \infty \right )$

$\left ( 0, \frac{1}{9}\right )$

$\left ( 0, \frac{1}{9}\right ]$

$\left [\frac{1}{9}, \infty \right )$

正确答案:

$\left ( 0, \frac{1}{9}\right ]$

解释：

$x ^{2} \geq 0$ ,所以

$x ^{2} + 9 \geq 0+ 9$ ,或

$x ^{2} + 9 \geq 9$

自 $x ^{2} + 9 \geq 9$ ,然后

$0 < \frac{1 }{x ^{2} + 9} \leq \frac{1}{9}$

因此，范围是

$\left ( 0, \frac{1}{9}\right ]$

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问题9:如何找到列表中缺失的部分

美国机动车辆管理局(Department of Motor Vehicles)希望该州所有的车牌号都符合两条规定:

规则1:数字必须由两个字母(A-Z)和四个数字(0-9)组成。

规则2:数字可以重复，字母不能重复。

下列哪个表达式等于符合此规则的可能许可号的数量?

可能的答案:

$26 \times 25 \times 10 ^{4}$

$25 ^{2} \times 10 ^{4}$

$26 \times 25 \times P (10,4 )$

$25 ^{2} \times P (10,4 )$

正确答案:

$26 \times 25 \times 10 ^{4}$

解释：

第一个字母可以是26个字母中的任何一个，但在做出这个选择之后，由于这个字母不能重复，所以第二个字母有25个选择。接下来的四个字符可以是10个数字中的一个，允许重复。根据乘法原理，可能的许可号为

$26 \times 25 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 26\times 25 \times 10 ^{4}$

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例子问题10:如何找到列表中缺失的部分

美国机动车辆管理局(Department of Motor Vehicles)希望该州所有的车牌号都符合两条规定:

规则1:数字必须由两个字母(A-Z)和四个数字(0-9)组成。

规则2:允许重复，但两个字母都不能是O或I。

下列哪个表达式等于符合此规则的可能许可号的数量?

可能的答案:

$24 ^{2} \times C (10,4 )$

$24 \times 23 \times C (10,4 )$

$24 \times 23 \times 10 ^{4}$

$24 ^{2} \times 10 ^{4}$

正确答案:

$24 ^{2} \times 10 ^{4}$

解释：

允许重复，所以第一个字符可以是24个允许的字母之一(26减去“I”和“O”)，第二个也是如此;接下来的4个字符可以是10个数字中的一个。根据乘法原理，可能的车牌号数为:

$24 \times 24 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 24^{2} \times 10 ^{4}$

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