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例子问题

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例子问题1:有序域和完备性公理

识别以下属性。

在空间上 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 在哪里， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 下列陈述中只有一种是正确的 a<b ， b<a ,或 a=b ．

可能的答案:

可乘性

乘法恒等式的存在性

传递属性

三分法的财产

分配律

正确答案:

三分法的财产

解释：

实数系统， $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 包含显示系统的关系和属性的顺序公理，这些关系和属性为有序场代数定律添加了完整性。

属性如下。

三分法属性:

鉴于， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 下列陈述中只有一种是正确的 a<b ， b<a ,或 a=b ．

传递属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 b<c 这就意味着 a<c ．

附加属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 这就意味着 a+b<b+c ．

乘法属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a0 这就意味着 ac<bc 而且 a<b 而且 c<0 这就意味着 bc<ac ．

因此，查看选项Trichotomy Property可以识别这个特定问题中的属性。

报告错误

例子问题2:有序域和完备性公理

识别以下属性。

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 b<c 这就意味着 a<c ．

可能的答案:

分布规律

三分法的财产

加和性

乘法的属性

传递属性

正确答案:

传递属性

解释：

实数系统， $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 包含显示系统的关系和属性的顺序公理，这些关系和属性为有序场代数定律添加了完整性。

属性如下。

三分法属性:

鉴于， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 下列陈述中只有一种是正确的 a<b ， b<a ,或 a=b ．

传递属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 b<c 这就意味着 a<c ．

附加属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 这就意味着 a+b<b+c ．

乘法属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a0 这就意味着 ac<bc 而且 a<b 而且 c<0 这就意味着 bc<ac ．

因此，通过查看选项，Transitive Property可以识别这个特定问题中的属性。

报告错误

例子问题3:有序域和完备性公理

识别以下属性。

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 这就意味着 a+b<b+c ．

可能的答案:

乘法的属性

传递属性

加和性

分布规律

三分法的财产

正确答案:

加和性

解释：

实数系统， $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 包含显示系统的关系和属性的顺序公理，这些关系和属性为有序场代数定律添加了完整性。

属性如下。

三分法属性:

鉴于， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 下列陈述中只有一种是正确的 a<b ， b<a ,或 a=b ．

传递属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 b<c 这就意味着 a<c ．

附加属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 这就意味着 a+b<b+c ．

乘法属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a0 这就意味着 ac<bc 而且 a<b 而且 c<0 这就意味着 bc<ac ．

因此，通过查看选项，Additive Property可以识别这个特定问题中的属性。

报告错误

问题4:有序域和完备性公理

识别以下属性。

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a0 这就意味着 ac<bc 而且 a<b 而且 c<0 这就意味着 bc<ac ．

可能的答案:

加和性

分布规律

乘法的属性

三分法的财产

传递属性

正确答案:

乘法的属性

解释：

实数系统， $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 包含显示系统的关系和属性的顺序公理，这些关系和属性为有序场代数定律添加了完整性。

属性如下。

三分法属性:

鉴于， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 下列陈述中只有一种是正确的 a<b ， b<a ,或 a=b ．

传递属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 b<c 这就意味着 a<c ．

附加属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a<b 而且 $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 这就意味着 a+b<b+c ．

乘法属性:

为，, $c\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 在哪里 a0 这就意味着 ac<bc 而且 a<b 而且 c<0 这就意味着 bc<ac ．

因此，查看选项乘法属性确定了这个特定问题中的属性。

报告错误

例子问题1:感应

判断以下陈述是对还是错:

如果的非空子集 $\mathbb{N}$ ,然后有一个有限的下下限，它是．

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

真正的

解释：

根据良序原则，这种说法是正确的。下面的证明说明了它的正确性。

假设 $A\subseteq \mathbb{N}$ 非空的。从那里，我们知道上界是由．

因此，由完备性公理的至高无上的存在。

此外,如果 $A\subset \mathbb{Z}$ 那么，它有至高无上的意义吗 $\text{sup}A\ \epsilon\ A$ ，因此在这种特殊情况下 $\text{sup}(-A)\ \epsilon\ -A$ ．

因此，根据反思原则，

$\text{inf}A=-\text{sup}(-A)$

存在,

$\text{inf}A\ \epsilon\ -(-A)=A$ ．

因此证明了问题中的陈述是正确的。

报告错误

例子问题1:介绍分析

下面定义了什么术语。

集合的序列 $\begin{Bmatrix} I_n \end{Bmatrix}_{n\ \epsilon\ \mathbb{N}}$ 是__________当且仅当 $I_1\supseteq I_2\supseteq ...$ ．

可能的答案:

无限

有界的

嵌套的

减少

增加

正确答案:

嵌套的

解释：

这句话:

集合的序列 $\begin{Bmatrix} I_n \end{Bmatrix}_{n\ \epsilon\ \mathbb{N}}$ __________是当且仅当 $I_1\supseteq I_2\supseteq ...$

是定义嵌套。

这意味着这个序列 I_n 对所有元素，其中属于自然数，当且仅当后续集合是它的子集时，被认为是一个嵌套集。

介绍分析中的其他定理建立在这种理解的基础上。

报告错误

例子问题1:实数的可微性(R)

判断以下陈述是对还是错:

让，，, $d\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ．如果 a<b 而且 c<d<0 然后 ac<bd ．

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

当使用实际值时，通过显示矛盾来确定此语句为假。

让

a=1, b=2, c=-3, d=-2

首先确保不等式成立。

$\\a<b \\1<2$

而且

$\\c<d<0 \\-3<-2<0$

现在求生成物。

$\\ac<bd \\(1)(-3)<(2)(-2) \\-3\nless -4$

因此，这个说法是错误的。

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例子问题1:黎曼积分，黎曼和，反常黎曼积分

证明有界函数的上积分和下积分存在的必要条件是什么?

可能的答案:

， $b\ \epsilon\ \mathbb{Z}$ ， a<b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 是有界的

， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a<b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 是有界的

， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a>b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{Z}$

， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a>b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a<b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{Z}$ 是有界的

正确答案:

， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a<b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 是有界的

解释：

使用黎曼和的定义来定义函数的上积分和下积分，可以回答这个问题。

根据黎曼和 U(f,P) 表示上积分和 L(f,P) 定义如下:

1.的上积分在 [a,b] 是

$(U)\int_a^bf(x)dx:=\text{inf}\begin{Bmatrix} U(f,p)) \end{Bmatrix}$ 在哪里是对 [a,b] ．

2.的下积分在 [a,b] 是

$(L)\int_a^bf(x)dx:=\text{sup}\begin{Bmatrix} L(f,p)) \end{Bmatrix}$ 在哪里是对 [a,b] ．

3.如果1和2相等，则积分为

$\int_a^bf(x):=(U)\int_a^bf(x)dx=(L)\int_a^bf(x)dx$

当且仅当， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a<b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 是有界的。

因此证明有界函数的上积分和下积分存在的必要条件是当且仅当， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ ， a<b , $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 是有界的。

报告错误

例子问题1:黎曼积分，黎曼和，反常黎曼积分

下面是哪个术语的定义。

， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 而且 a<b ．在时间间隔内 [a,b] 是点的集合吗 $P=\begin{Bmatrix} x_0,x_1,...,x_n \end{Bmatrix}$ 这样

a=x_0<x_1<...<x_n=b

可能的答案:

规范

分区

上黎曼和

细化分区

下黎曼和

正确答案:

分区

解释：

通过定义

如果， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 而且 a<b ．

一个分区在时间间隔内 [a,b] 是点的集合吗 $P=\begin{Bmatrix} x_0,x_1,...,x_n \end{Bmatrix}$ 这样

a=x_0<x_1<...<x_n=b ．

因此，描述这个语句的术语是分区。

报告错误

例子问题3:黎曼积分，黎曼和，反常黎曼积分

下面是哪个术语的定义。

的__________一个分区的 $P=\begin{Bmatrix} x_0,x_1,...,x_n \end{Bmatrix}$ 是

$||P||=\max_{1\leq j\leq n}|x_j-x_{j-1}|$

可能的答案:

规范

上黎曼和

下黎曼和

分区

细化分区

正确答案:

规范

解释：

通过定义

如果， $b\ \epsilon\ \mathbb{R}$ 而且 a<b ．

间隔上的分区 [a,b] 是点的集合吗 $P=\begin{Bmatrix} x_0,x_1,...,x_n \end{Bmatrix}$ 这样

a=x_0<x_1<...<x_n=b ．

此外,

的规范分区的

$P=\begin{Bmatrix} x_0,x_1,...,x_n \end{Bmatrix}$ 是

$||P||=\max_{1\leq j\leq n}|x_j-x_{j-1}|$

因此，描述这种说法的术语是norm。

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