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高中物理:运动学方程

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例子问题

例子问题331:运动和力学

特雷弗是旅行 20m/s 当他看到前面有红灯的时候。他的汽车能以……的速度减速 3.45m/s^2 ．如果这需要他 0.360s 来控制局势，他做到了 19.0m 当他看到红灯时，他离十字路口的起点有多远，朝哪个方向走?换句话说，他能及时停下来吗?

可能的答案:

是的，他会及时停下来，并且会停下来 5.7m 在十字路口。

不，他不能及时停下来，只能左右徘徊 46.2 m 超出了十字路口。

是的，他会及时停下来，并且会停下来 13.3 m 在十字路口。

不，他不能及时停下来，只能左右徘徊 15.8 m 超出了十字路口。

正确答案:

不，他不能及时停下来，只能左右徘徊 46.2 m 超出了十字路口。

解释:

已知:

v_0 = 20m/s

v_f=0m/s

a = -3.45m/s^2

t_0 = 0s

$t_{reaction} = 0.360s$

$\Delta x = 19m$

未知:

$\Delta x$ 特雷弗真的会旅行= ?

方程:

因为特雷弗在踩刹车之前需要一段时间来反应，确定特雷弗在反应时间内走了多远。这时他以恒定的速度运动。

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

$\Delta x = v*\Delta t$

$\Delta x = 20m/s * 0.360s$

$\Delta x = 7.2m$

接下来，利用运动学方程根据车的加速度来确定特雷弗停车的位置。

$v^f_2=v^0_2 +2a\Delta x$

$\Delta x =\frac{v^f_2-v^0_2}{2a}$

$\Delta x =\frac{0^2-(20m/s)^2}{2(-3.45m/s^2)}$

$\Delta x = 57.97m$ 超出反应点

总移动距离是反应时间距离加上减速期间的移动距离。

总距离 = 7.2m +57.97m = 65.17m

要求出红灯以外的距离，用到红灯的距离减去经过的距离

越过红灯的距离 = 65.17m-19m = 46.2m

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例子问题2:运动学方程

一辆没有标志的警车在高速公路上不停地行驶 90km/h ．这名军官被一辆超速行驶的摩托车超过了 130km/h ．精确的超速者经过后，警察踩下加速器抓住超速者。如果警车的加速度是 2.50m/s^2 ，警车要过多久才会超过超速者?假设超速者以匀速运动。

可能的答案:

16.00 s

4.40 s

11.11 s

9.79 s

没有提供足够的信息

正确答案:

9.79 s

解释:

已知:

$v_{speeder} = 130km/h$

$v_{officer} =900km/h$

$t_{0 speeder} = 0 seconds$

$t_{0 officer}= 1 second$

a=2.50m/s^2

未知:

$t_{final}=?$

方程:

为了让事情更简单，把参照系设为警察。这意味着警察以0km/h的速度行驶，而超速者以相对于警察的速度移动。

$v_{speeder in reference to officer} = v_{speeder}- v_{officer}$

v = 130km/h-90km/h

v= 40km/h

所以新的相对速度是:

$v_{speeder} = 40km/h$

$v_{officer} =0km/h$

这将有助于简化数学计算。

将加速器的相对速度转换为米/秒。

$\frac{40km}{h}*\frac{1000m}{1km}*\frac{1h}{60 min}*\frac{1min}{60s}= 11.11m/s$

现在有两个方程必须为真警官才能赶上超速者。

$\Delta x_{officer} =v_o\Delta t_{officer} + \frac{1}{2}a\Delta t^2_{officer}$

$v_{speeder}=\frac{\Delta x_{speeder}}{\Delta t_{speeder}}$

这些方程有两个联系。首先，警官和超速者行驶的距离必须相同。此外，驾驶人员和超速者的最终速度必须相同。

根据行驶距离重新排列速度方程。

$v_{speeder} * \Delta t_{speeder} = \Delta x_{speeder}$

设这两个方程相等，因为超速者行驶的距离等于警官行驶的距离。

$v_o\Delta t_{officer} + \frac{1}{2}a\Delta t^2_{officer}=v_{speeder} * \Delta t_{speeder}$

记住，参考点是在军官的视角上，所以军官的初速度是0m/s。

$0m/s + \frac{1}{2}a\Delta t^2_{officer}=v_{speeder} * \Delta t_{speeder}$

重写这个方程，把时间的变化量分解为时间的终值和时间的初值。

$\frac{1}{2}a(t_{f officer}- t_0 officer)^2=v_{speeder} * (t_{f speeder} -t_{0 speeder})$

分布在左边。

$\frac{1}{2}a(t^2_{f officer}- t_{0 officer}t_{f officer} +t^2_{0 officer})=v_{speeder} * (t_{f speeder} -t_{0 speeder})$

$\frac{1}{2}at^2_{f officer}- \frac{1}{2}at_{0 officer}t_{f officer} +\frac{1}{2}at^2_{0 officer}=v_{speeder} * (t_{f speeder} -t_{0 speeder})$

替代值

$\frac{1}{2}(2.5m/s^2)t^2_{f officer}- \frac{1}{2}(2.5m/s^2)(1s)t_{f officer} +\frac{1}{2}(2.5m/s^2) (1s)^2=11.11m/s* (t_{f speeder} -0s)$

简化

$(1.25)t^2_{f officer}- 1.25t_{f officer} +1.25=11.11 t_{f speeder}$

记住，警官和超速者的最终时间是相同的。把这个重新整理成二次方程的形式。

$(1.25)t^2_{f officer}- 12.36t_{f officer} +1.25=0$

用二次公式求解。

可能的答案: t= 0.10s 或 t = 9.79s

因为警官一直没动，直到，那么第二个答案一定是正确的。

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示例问题3:运动学方程

尤塞恩·博尔特从静止加速到 13.4m/s 经过一段距离 100m ．他的加速度是多少?假设加速度是恒定的。

可能的答案:

a=.879m/s^2

a=.847m/s^2

a=.898m/s^2

a=.869m/s^2

a=9.8m/s^2

正确答案:

a=.898m/s^2

解释:

已知末速度，已知初速度为0。我们可以用下面的运动学公式来关联最终速度、初速度、加速度和位移:

$v_f^2=v_0^2+2a\Delta x$

初速度为零，因为尤塞恩从静止开始。因此我们可以把它从方程中去掉。

$v_f^2=2a\Delta x$

重新排列这个方程来求解加速度。

$\frac{v_f^2}{2\Delta x}=a$

$\frac{(13.4m/s)^2}{2(100m)}=a$

a = .898m/s^2

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示例问题4:运动学方程

彼得从休息开始，跑过走廊 31 seconds ．如果他的最终速度是 13m/s ，他跑了多远?

可能的答案:

0.387m

201.8m

13.3m

100.75m

222m

正确答案:

201.8m

解释:

已知:

v_0 = 0m/s

v_f =13m/s

$\Delta t =31s$

未知:

a = ?

$\Delta x = ?$

方程:

首先我们要确定彼得的加速度。最佳的运动学方程是:

$v_f=v_0+a\Delta t$

$\frac{v_f-v_0}{\Delta t}=a$

$\frac{13m/s-0m/s}{31s}=a$

a = 0.42m/s^2

一旦知道了彼得的加速度，就有可能求出他走过的距离。

$\Delta x = v_0 \Delta t+\frac{1}{2}a\Delta t^2$

彼得的初速度是 0m/s 所以这个方程化简为

$\Delta x =\frac{1}{2}a\Delta t^2$

$\Delta x =\frac{1}{2}(0.42m/s^2)(31)^2$

$\Delta x = 201.8m$

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示例问题5:运动学方程

对象而且两者都是从休息开始的。它们都以相同的速度加速。然而,对象加速的时间是物体的两倍．物体移动的距离是多少与对象的比较?

可能的答案:

的两倍远

相同的距离

四倍远

三倍远

正确答案:

四倍远

解释:

$\Delta x = v_0 \Delta t+\frac{1}{2}a\Delta t^2$

行进的距离与行进时间的平方直接相关。因此，如果时间翻倍，其值将是平方，因此是四倍。行驶的距离是原来的4倍。

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示例问题6:运动学方程

假设一个罐子被踢了一脚，然后沿着光滑的冰丘向上移动。关于它的加速度，下列哪项是正确的?

可能的答案:

它会沿着山坡有一个变化的加速度。

它将以恒定的速度运动，加速度为零

它会有相同的加速度，上山和下山。

它在上山时会有一个恒定的加速度，但是下山时加速度是不同的

正确答案:

它会有相同的加速度，上山和下山。

解释:

因为没有摩擦，罐头上下山坡的加速度是相同的。摩擦力或其他力会引起加速度的变化。但由于没有摩擦，罐头会先上山，然后减速，然后再加速下山。

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示例问题7:运动学方程

跑步者想要完成一个 10,000m 运行时间少于 30 minutes ．在匀速运行了整整 26 minutes ，跑者还有 1500 meters 运行。跑者必须在 0.30m/s^2 需要多少秒才能达到最终速度才能让他们完成在预定时间内离开比赛?

可能的答案:

20.83 s

2.67 s

1.48 s

8.32 s

6.70 s

正确答案:

2.67 s

解释:

已知:

$\Delta x_{total} = 10,000m$

$\Delta t_{total} = 30 min$

$\Delta t_{constant speed} = 26 min$

$\Delta x_{accelerating} = 1500m$

a = 0.30m/s^2

无名:

$\Delta t_{accelerating}= ?$

方程:

第一件事是确定运动员在比赛最后阶段加速前的初始速度。因为跑步者以恒定的速度运动

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

接下来，将恒速部分的时间转换为秒。

$26 min *\frac{60s}{1 min}= 1560s$

确定以恒定速度行驶的距离。

10,000m-1,500m = 8,500m

使用这些值来确定跑步者的速度。

$v = \frac{8,500m}{1560s}$

v = 5.45m/s

接下来确定运动员在剩余时间内完成比赛所需的最终速度。

30min - 26min = 4 min 在比赛

$4min *\frac{60s}{1 min} = 240s$

$v = \frac{1500m}{240s}$

v = 6.25 m/s

最后用运动学方程来计算得到这个速度所需的时间。

$v_f= v_0+a\Delta t$

重新安排时间

$\Delta t = \frac{v_f-v_0}{a}$

$\Delta t = \frac{6.25m/s-5.45m/s}{0.30m/s^2}$

$\Delta t = 2.67s$

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示例问题8:运动学方程

球滚动后停止 4.2s ．如果它的起始速度是 8.1ms ，由于摩擦，球的减速是多少?

可能的答案:

6.93m/s^2

-0.526m/s^2

-4.2m/s^2

-1.93m/s^2

3.9m/s^2

正确答案:

-1.93m/s^2

解释:

已知初始速度，时间和最终速度(0，因为球停止了)。利用这些值和适当的运动方程，我们可以解出加速度。

加速度由速度随时间的变化量给出:

$a = \frac{v_f-v_0}{\Delta t}$

我们可以用我们的值来解出加速度。

$a = \frac{0m/s - 8.1m/s}{4.2s}$

a = -1.93m/s^2

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示例问题9:运动学方程

对象而且两者都是从静止开始的。它们都以相同的速度加速。然而,对象加速的时间是物体的两倍．物体的最终速度是多少与物体相比?

可能的答案:

三倍的速度

快一倍

同样的速度

四倍的速度

正确答案:

快一倍

解释:

$v_f = v_0+a\Delta t$

最终速度和所经过的时间有直接的关系。因此，如果时间加倍，速度也会加倍。

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