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GRE科目考试:数学:代换

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例子问题

例子问题1:替换

整合:

$\int \frac{18x-6}{3x^2-2x}dx$

可能的答案:

$3\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

$\frac{1}{3}\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

$6\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

$\frac{1}{6}\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

$\frac{1}{2}\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

正确答案:

$3\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

解释：

这个问题需要u替换。让 u=3x^2-2x 并找到．

$du=6x-2\:dx$

注意分子 $\int \frac{18x-6}{3x^2-2x}dx$ 公因式是2 3或6。分子可以因式分解Term可以作为替代品。用3作为公因式来分解分子。

$\int \frac{18x-6}{3x^2-2x}dx= \int\frac{3(6x-2)}{3x^2-2x}dx=3\int \frac{(6x-2)}{3x^2-2x}dx$

替代而且项，积分，然后重新替换术语。

$3\int \frac{du}{u} = 3\: ln\left | u\right |+C=3\: ln\left | 3x^2-2x\right |+C$

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例子问题1:替换

求下面的积分:

$\int5x^4(x^5-9)^6dx$

可能的答案:

$\frac{(x^5+9)^7}{7}+c$

$\frac{(x^5-9)^7}{7}$

$\frac{(x^5-9)^7}{7}+c$

$\frac{(x^5+9)^6}{6}+c$

$\frac{(x^4-9)^7}{7}+c$

正确答案:

$\frac{(x^5-9)^7}{7}+c$

解释：

为了计算这个积分，我们可以展开整个二项式，但这将非常耗时，有点痛苦。取而代之，我们用u替换:

鉴于这种:

$\int5x^4(x^5-9)^6dx$

我们可以说

u=x^5-9

du=5x^4dx

然后，把它代回原来的表达式

$\int u^6du$

对这个积分求值得到

$\frac{u^7}{7}+c$

然后，把u换成我们用它代入的东西来得到最终的答案。注意，因为这是不定积分，我们需要加上c。

$\frac{(x^5-9)^7}{7}+c$

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例子问题1:替换

使用替换对以下内容进行集成。

$\int \frac{1}{4-5x}dx$

可能的答案:

$-\frac{1}{5}\ln\left | 4-5x\right |+c$

$\ln\left | 4-5x\right |+c$

$\frac{-5}{4-5x}+c$

$\frac{-5}{(4-5x)^2}+c$

正确答案:

$-\frac{1}{5}\ln\left | 4-5x\right |+c$

解释：

$\int \frac{1}{4-5x}dx$

通过代换，我们设 u=4-5x 这意味着它的导数是 du=-5dx ．

替换为 4-5x , $- \frac{1}{5}du$ 为我们有:

$\int \frac{1}{4-5x}dx=-\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du$

现在我们只要积分:

$-\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du=-\frac{1}{5}\ln\left | u\right |+c$

最后，我们去掉替换 u=4-5x 要用原始变量得到一个表达式:

$-\frac{1}{5}\ln\left | 4-5x\right |+c$

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示例问题4:替换

求下面的积分:

$\int5x^4(x^5-9)^6dx$

可能的答案:

$\frac{(x^5-9)^7}{7}$

$\frac{(x^5-9)^7}{7}+c$

$\frac{(x^4-9)^7}{7}+c$

$\frac{(x^5+9)^7}{7}+c$

$\frac{(x^5+9)^6}{6}+c$

正确答案:

$\frac{(x^5-9)^7}{7}+c$

解释：

为了计算这个积分，我们可以展开整个二项式，但这将非常耗时，有点痛苦。取而代之，我们用u替换:

鉴于这种:

$\int5x^4(x^5-9)^6dx$

我们可以说

u=x^5-9

du=5x^4dx

然后，把它代回原来的表达式

$\int u^6du$

对这个积分求值得到

$\frac{u^7}{7}+c$

然后，把u换成我们用它代入的东西来得到最终的答案。注意，因为这是不定积分，我们需要加上c。

$\frac{(x^5-9)^7}{7}+c$

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