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GRE科目考试:数学:收敛性测试

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例子问题

问题1:比值判别法

这些级数中哪一个不能用比值检验正确地检验收敛/发散?(以下哪个系列没有通过比率测试?)

可能的答案:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^2}{3^k}$

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-2)^k}{k!}$

$\sum_{k=0}^{\infty} k$

没有其他答案。

正确答案:

$\sum_{k=0}^{\infty} k$

解释：

比率测试失败，当 $\lim_{k\to \infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | =1$ 。否则级数绝对收敛 $\lim_{k\to \infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | <1$ ，并将其发散 $\lim_{k\to \infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | >1$ 。

测试系列 $\sum_{k=0}^{\infty} k$ ，我们有

$\lim_{k\to\infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | = \lim_{k\to\infty} \left |\frac{(k+1)}{(k)} \right | = \lim_{k\to\infty} 1+ \frac{1}{k} = 1.$

因此，比率测试在这里失败了。(读者可能很明显，这个系列已经出现了分歧。然而，我们必须记住，数学中的所有直觉都需要严格的证明。我们正在这里尝试。)

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问题1:比值判别法

假设 $a_{n}=n^{\alpha}(n+1)$ , $\alpha \ge 2$ 。使用比率检验，我们可以对这个级数说些什么呢?

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$

可能的答案:

$\infty$

当我们使用比率检验时，我们不能得出结论。

它是收敛的。

$-\infty$

正确答案:

当我们使用比率检验时，我们不能得出结论。

解释：

根据这个问题的要求，我们必须使用比率判别法。 $L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 当L<1时，级数绝对收敛，当L<1时，级数发散，当L=1时，级数要么收敛，要么发散。

为此，我们需要计算: $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 。在我们的例子中:

$a_{n}=\frac{1}{a_{n}}$

因此

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(\frac{n}{n+1})^{\alpha}\frac{n+1}{n+2}$ 。

我们知道 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}=1$

这意味着

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(\frac{n}{n+1})^{\alpha}\frac{n+1}{n+2}=1\forall\quad \alpha$

由于L=1，通过比值检验，我们不能得出级数收敛性的结论。

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问题1:比值判别法

我们考虑这个系列: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{72n+89}$ ，使用比值检验来确定级数的收敛类型。

可能的答案:

这个级数是快速收敛的。

$\frac{1}{79}$

我们不能断定这个系列的性质。

它显然是分歧的。

$\frac{3}{79}$

正确答案:

我们不能断定这个系列的性质。

解释：

为了能够使用比率检验来得出结论，我们需要首先计算比率，然后使用 $L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 当L<1时，级数绝对收敛，当L<1时，级数发散，当L=1时，级数要么收敛，要么发散。计算这个比值，我们得到，

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 。

我们有:

$a_{n+1}=\frac{1}{72(n+1)+89}=\frac{1}{72n+161}$

因此有:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=$ $\frac{72n+89}{72n+161}$

很明显 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ 。

通过比值检验，我们不能断定级数的性质。

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问题5:比值判别法

考虑以下系列:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 在哪里 $a_{n}$ 为:

$a_{n}=\frac{n}{n^\alpha +1},\alpha \ge 3$ 。用比值判别法，求出级数的性质。

可能的答案:

$\frac{\pi}{e}$

$\frac{3}{211}$

我们不能用比率检验得出结论。

这个级数是收敛的。

正确答案:

我们不能用比率检验得出结论。

解释：

让 $a_{n}$ 是这个级数的通项。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。

$L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 当L<1时，级数绝对收敛，当L<1时，级数发散，当L=1时，级数要么收敛，要么发散。

我们需要评估，

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 我们有:

$a_{n+1}= \frac{n+1}{(n+1)^\alpha +1},a_{n}=\frac{n}{n^\alpha +1}$ 。

因此:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n^\alpha +1}{(n+1)^\alpha +1}\frac{n+1}{n}$ 。我们知道，

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}=1$ 因此

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^\alpha +1}{(n+1)^\alpha +1}=1$

这意味着:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1$ 。

通过比值检验，我们不能得出级数性质的结论。我们将不得不使用另一个测试。

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